Cómo encontrar funciones para aplicar la regla de compresión para funciones continuas

Question

En nuestro curso se nos presentó la regla de compresión para funciones continuas.

Se dio un ejemplo en el que se utilizó la regla del apretón para demostrar que la siguiente función es continua en el punto $0$ .

$$ f(x) = \begin{cases} x^2 \sin(1/x) & x \not = 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases} $$

Mirando un gráfico de $f(x)$ , $g(x) = x^2$ y $h(x) = -x^2$ hace bastante obvio que podríamos usar $g, h$ junto con la Regla del Apretón.

Pero en un examen no serán tan amables como para proporcionarnos ayudas visuales, además el uso de una calculadora gráfica está prohibido.

¿Hay alguna técnicas/clases comunes podemos aplicar si sólo nos dan $f$ y su gráfico (esto lo proporcionarán en un examen) para encontrar $g, h$ para aplicar la regla del apretón, demostrando la continuidad de $f$ ? Según la definición de $f$ solo arriba dudo que se me hubiera ocurrido $g(x) = x^2$ y $h(x) = -x^2$ directamente.

Answer 1

Uno de los problemas más comunes es la función seno o coseno. Esas funciones vienen con desigualdades incorporadas: $-1 \leq \sin x \leq 1$ y lo mismo para el coseno.

Otro ejemplo común es tener una función racional, y compararla con otra más simple que sea mayor y otra más simple que sea menor. Así, por ejemplo, dada $\frac{x+3}{x^2 + 4}$ podrías elegir: $$\frac{x}{x^2 + 4} \leq \frac{x+3}{x^2 + 4} \leq \frac{2x}{x^2 + 4}$$ (para $x>3$ ) asumiendo que no se está acercando $0$ otras opciones pueden ser adecuadas para diferentes puntos límite.

Es muy similar a la comparación de series de potencia con las pruebas de comparación, y tomamos decisiones muy similares para trabajar esos problemas.

Answer 2

La parte relevante es la expresión $x^2\sin(1/x)$ . El factor $\sin(1/x)$ siempre está entre $-1$ y $1$ . Así que esa expresión siempre estará en algún lugar entre $x^2$ y $-x^2$ . Y probando, verás entonces que esas dos funciones sí funcionan para el teorema del apretón.

Por lo general, si tiene un producto $u(x)v(x)$ donde $v(x)$ tiene el límite inferior $a$ y el límite superior $b$ entonces es una buena idea intentar $au(x)$ y $bu(x)$ como límites para el teorema del apretón.