Función totiente de Euler para enteros gaussianos

Question

En realidad, esto no es una pregunta, sino sólo una observación seguida de una pequeña pregunta. Para los primos $p$ , $\phi(p)=p-1$ , para el general $n$ , $\phi(n)<n$ desde $\phi(n)$ es el orden del grupo $\mathbb{Z}_n^*$ de unidades de $\mathbb{Z}_n$ .

Pero para $n=1$ , $\phi(1)=1$ porque $\mathbb{Z}_1^*=\{1\}$ por lo que $\phi(1)$ no es estrictamente menor que $1$ .

Ahora una pequeña pregunta que tengo es, ¿cómo se define una función totiente de Euler análoga para $\mathbb{Z}[i]$ ¿los enteros gaussianos? ¿O más generalmente los enteros algebraicos?

Answer 1

Puede definir $\varphi(a + bi)$ para ser el tamaño del grupo de unidades del cociente $\mathbb{Z}[i]/(a + bi)$ de la misma manera que para los enteros. Tenemos

• $\varphi(mn) = \varphi(m) \varphi(n)$ si $\gcd(m, n) = 1$
• $\varphi(p) = N(p) - 1 = a^2 + b^2 - 1$ si $p = a + bi$ es primo (esto significa que $a^2 + b^2$ es $2$ un primo ordinario congruente con $1 \bmod 4$ o el cuadrado de un primo ordinario congruente con $3 \bmod 4$ )
• $\varphi(p^k) = N(p)^{k-1} \varphi(p)$ si $p$ es primo

que determina $\varphi(-)$ por completo. Como en $\mathbb{Z}$ tenemos un teorema del totiente según el cual si $\gcd(z, a + bi) = 1$ entonces $z^{\varphi(a + bi)} \equiv 1 \bmod (a + bi)$ .

Para un anillo general de enteros $\mathcal{O}_K$ deberíamos hablar de $\varphi(I)$ donde $I$ es un ideal ya que existe la posibilidad de que haya ideales no principales; éste será el tamaño del grupo de unidades de $\mathcal{O}_K/I$ y de nuevo tenemos un teorema del totiente $z^{\varphi(I)} \equiv 1 \bmod I$ .