Es bien sabido que la La suma de los recíprocos de todos los primos diverge. Cómo demostrar que la suma de los recíprocos de los primos de Chen converge.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
He utilizado un método similar en esta respuesta . Hace poco descubrí que este método ya estaba esbozado también en un comentario de Denis en el Contabilización de MO Lo he comentado:
Las apariciones de $C>0$ son constantes absolutas que no son necesariamente iguales.
Para los primos gemelos, es bien sabido que para alguna constante absoluta $C>0$ , $$ |\{p: x/2<p\leq x, p+2 \textrm{ is prime } \}|\leq C \frac x{\log^2 x}. $$ Lo siguiente es Halberstam & Richart "Sieve Methods", Corolario 5.8.4 en la página 179.
Dejemos que $q$ y $h$ sean números enteros, y que $y$ y $x$ sean números reales que satisfagan $$ h\neq 0, \ \ (q,h)=1, \ \ 2|qh, \ \ 1\leq q<y\leq x. $$ Entonces $$ |\{p: x-y<p\leq x, (p-h)/q = p' \}| $$ $$ \leq 16 \prod_{p>2}\left(1-\frac1{(p-1)^2}\right)\prod_{2<p|qh}\frac{p-1}{p-2}\frac{y/q}{\log^2(y/q)}\left(1+O\left(\frac{\log\log 3|h|y}{\log(y/q)}\right)\right). $$
Aquí dentro, $p$ y $p'$ son primos, y las constantes implícitas en $O$ -el plazo es absoluto.
Toma $h=-2$ , $q\leq \sqrt x$ y $y=x/2$ . Entonces tenemos una expresión más sencilla $$ |\{p: x/2<p\leq x, (p+2)/q=p'\}|\leq C \frac{x/q}{\log^2 x}. $$
Entonces sumamos para todos los primos $q\leq \sqrt x$ . Por $\sum_{q\leq \sqrt x} \frac1q \ll \log\log x$ obtenemos $$ |\{p: x/2<p\leq x, p \textrm{ is Chen's prime} \}|\leq C \frac{x\log\log x}{\log^2 x}. $$ Sumando diádicamente todo esto, tenemos $$ |\{ p\leq x: p \textrm{ is Chen's prime} \}|\leq C \frac{x\log\log x}{\log^2 x}. $$ La convergencia del recíproco se puede demostrar por el método similar al de la constante de Brun. Sea $\pi_C(t)$ sea la función de recuento de los primos de Chen hasta $t$ . Entonces $$\begin{align} \sum_{p \textrm{ is Chen's prime}, p\leq x} \frac1p&=\int_{2-}^x \frac1t d\pi_C(t)\\ &=\frac{\pi_C(t)}t \Bigg\vert_{2-}^x + \int_{2-}^x \frac{\pi_C(t)}{t^2}dt\\ &=\int_{2-}^{\infty}\frac{\pi_C(t)}{t^2} dt +o(1). \end{align}$$ La integral $\int_{2-}^{\infty}\frac{\pi_C(t)}{t^2} dt$ converge debido a $$ \pi_C(t)=O\left(\frac{t\log\log t}{\log^2 t}\right),$$ y $$ \int_2^{\infty} \frac{\log\log t}{t\log^2 t} dt $$ converge.
