En un problema de mi libro de texto tenía la siguiente expresión:
Si $z = f(x,y)$ tiene derivadas parciales de segundo orden continuas y $x = r^{2}+s^{2}$ y $y = 2rs$ , encontrar $\displaystyle\frac{\partial z}{\partial r}$ y con esto, $\displaystyle\frac{\partial^{2}z}{\partial r^{2}}$
Obtuve que $\displaystyle\frac{\partial z}{\partial r}$ era:
$\displaystyle\frac{\partial z}{\partial r} = 2\displaystyle\frac{\partial z}{\partial x}+2r\displaystyle\frac{\partial z}{\partial x}+2s\displaystyle\frac{\partial z}{\partial y}$
Sin embargo, no estoy seguro de cómo empezar para encontrar la derivada parcial de segundo orden. He visto que en mi libro de texto lo han obtenido:
$\displaystyle\frac{\partial}{\partial r} (\displaystyle\frac{\partial z}{\partial x})=\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}(\displaystyle\frac{\partial z}{\partial x})\displaystyle\frac{\partial x}{\partial r}+\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}(\displaystyle\frac{\partial z}{\partial x})\displaystyle\frac{\partial y}{\partial r}$
Y de forma similar el mismo caso para $\displaystyle\frac{\partial}{\partial r} (\displaystyle\frac{\partial z}{\partial y})$
Así que esencialmente por lo que puedo entender de esto, están asumiendo que $\displaystyle\frac{\partial z}{\partial x}$ es una función tanto de x como de y? ¿Cómo podemos saber eso? ¿O es algo que simplemente debería saber? (¿qué podría pasar si la derivada parcial se expresa sólo en términos de x o sólo de y?)
