Prueba de subespacio para el espacio de $2\times2$ matrices, determinar la base para $W:=\{M \in M_{2,2}(\mathbb R) | M^T = -M\}$

Question

Lo siento, no sé por dónde empezar con esta pregunta

Dejemos que $M_{2,2}(\mathbb R)$ denotan el espacio vectorial de las matrices de 2 por 2.

Definir: $W:=\{M \in M_{2,2}(\mathbb R) | M^T = -M\}$ y $U := \{M \in M_{2,2}(\mathbb R) | M^T = M\}$

donde $M^T$ denota la transposición de $M$ . Utilice la prueba del subespacio para demostrar que $W$ es un subespacio de $M_{2,2} (\mathbb R)$ . Encuentre una base para $W$ . Determinar UW. Encontrar una base $B$ , para $U$ . Ampliar $B$ a una base $M_{2,2}(\mathbb R)$ .

Gracias de antemano

Answer 1

En primer lugar, hay que tener en cuenta que para $w\in W$ , $w$ es de la forma $\begin{bmatrix}0&a\\-a&0\end{bmatrix}$ . ¿Ves por qué la diagonal tiene que ser $0$ ?

A continuación, mira $u \in U$ , donde $u$ es de la forma $\begin{bmatrix}a&b\\b&d\end{bmatrix}$ . ¿Puedes probarte a ti mismo que ambas formas representan elementos de $W,U$ respectivamente?

Ahora, ¿qué sabes de la prueba subespacial? Tome cualquier $w_1,w_2\in W$ en el formulario anterior y demuestre que $W$ es un subespacio de $M_{2,2}(\mathbb{R})$ .

Dada la representación de elementos en $W$ ¿Cuántos elementos se necesitan para formar una base? ¿Puedes averiguar cómo es esta base? Utiliza ideas similares para $U$ .

Por último, ¿qué hacen los elementos de $W$ y $U$ tienen en común? Utiliza eso para resolver su intersección.