¿Qué es un operador adjunto?

Question

La siguiente conjetura es la siguiente aquí :

Todo operador adjunto tiene un subespacio invariante cerrado no trivial.

La referencia 11 donde supuestamente se define el adjunto se puede encontrar aquí . Pero no tengo acceso al artículo.

¿Qué es un "operador adjunto"?

Editar Aquí no es "el adjunto de un operador" porque entonces la conjetura sería equivalente a:

Todo operador tiene un subespacio invariante cerrado no trivial.

Answer 1

Para un espacio de Banach $X$ el espacio dual es el espacio de Banach $X^*$ de todas las funciones lineales acotadas en $X$ . Dejemos que $\langle x,f\rangle$ sea el valor de $f\in X^*$ en $x\in X$ . Si $T$ es un operador lineal acotado en $X$ entonces su adjunto es un operador lineal acotado $T^*$ en $X^*$ que se define por $\langle x,T^*f\rangle=\langle Tx,f\rangle$ para todos $x\in X$ y $f\in X^*$ . Existe un espacio de Banach $X$ tal que no todo operador lineal acotado en $X^*$ es el adjunto de un operador en $X$ . La cuestión es si cada operador de $X^*$ que es un adjunto tiene un subespacio invariante cerrado no trivial sigue sin resolverse. El problema está abierto incluso para el espacio de Hilbert complejo separable de dimensión infinita. Se sabe, por ejemplo, que existe un operador lineal acotado $S$ en $l^1$ que no tiene subespacios invariantes cerrados no triviales. Por supuesto, $S$ no es un operador adjunto.