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Cuántos $n\times n$ matrices binarias, de manera que al menos una fila esté ocupada sólo por $0'$ s?

Cuántos $n\times n$ matrices binarias (los valores son sólo $0'$ s y $1'$ s) están ahí, de tal manera que al menos una fila está ocupada sólo por $0'$ s?

¿Cómo abordar este problema?

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Shubham Johri Puntos 692

El número de matrices binarias con al menos una fila "cero" $=$ Número total de matrices binarias $-$ Número de matrices binarias sin fila "cero"

Número total de matrices binarias $=2^{n^2}\because$ la matriz contiene $n^2$ entradas, cada una de las cuales puede ser $0,1$ .

Para la segunda parte, observe que cada fila de la matriz binaria puede establecerse en $2^n$ maneras en virtud de tener $n$ entradas que pueden ser $0,1$ . Cada fila es una fila no "cero", por lo que de los $2^n$ posibilidades para una fila determinada, todas menos una (es decir, la fila "cero") son admisibles. Por lo tanto, cada fila puede establecerse en $2^n-1$ formas. Dado que hay $n$ filas, nº de matrices binarias sin fila "cero $=(2^n-1)^n$ .

Esta respuesta es igual a $2^{n^2}-(2^n-1)^n$ .

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