Subgrupo normal de orden primo en el centro

Question

Problema: Si $N$ es un subgrupo normal de orden $p$ donde $p$ es el menor primo que divide el orden de un grupo finito $G$ entonces $N$ está en el centro de $G$ .

Solución: Desde $N$ es normal, podemos elegir para $G$ para actuar $N$ por conjugación. Esto implica que existe un homomorfismo de $G$ al grupo de automorfismo de $N$ que tiene $p - 1$ elementos. Así, el homomorfismo es trivial y $N$ está en el centro de $G$

Mi primera pregunta es por qué la conjugación implica el grupo de automorfismo.

Mi segunda pregunta es por qué el automorfismo sólo tiene $p-1$ elementos; es decir, por qué se excluye la conjugación por la identidad aunque sea una conjugación válida.

Answer 1

En general, una acción de un grupo $G$ en un conjunto $X$ es equivalente a un homomorfismo $\varphi: G \to \text{Sym}(X)$ , donde $\text{Sym}(X)$ es el conjunto de todas las permutaciones de $X$ es decir, las biyecciones $X \to X$ . (Esto se llama representación de permutación; ver aquí para más información .) En este problema, el conjunto $N$ (en la que $G$ actúa) tiene la estructura de un grupo, y las biyecciones inducidas por elementos de $G$ resultan ser también automorfismos. Concretamente, dado $g \in G$ entonces el automorfismo inducido es simplemente \begin{align*} \varphi_g : N &\to N\\ n &\mapsto g n g^{-1} \, . \end{align*} (Esto se llama un automorfismo interior .)

Como se señala en los comentarios, $\text{Aut}(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}) \cong (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times$ el conjunto de unidades, para cualquier $m \in \mathbb{Z}_{>0}$ . Estos son exactamente los cosets que están representados por un elemento en $\{0, \ldots, m-1\}$ que es relativamente primordial para $m$ .