No podemos concluir $g$ es de signo constante; algo así como una simple (versión de una) zeta de Estermann $\Sigma\frac{(-1)^nd(2n+1)}{(2n+1)^s}$ , donde $d(n)$ es, como es habitual, el número de divisores de n, debería tener una función sumatoria alterna y un doble polo en 1 que es la abscisa obvia de convergencia por las propiedades habituales de $d$
Editar - el ejemplo anterior no es del todo correcto ya que la función es en realidad $(L(\chi_4)(s))^2$ donde $\chi_4$ es el único carácter primitivo mod 4 ( $1, 4k+1, -1, 4k+3, 0, 2k$ ) y que realmente converge hasta la abscisa $1/2$ (resultado general en la teoría de las series de Dirichlet) y posiblemente a $1/4$ (eso es una conjetura aunque en línea con las conjeturas generalizadas de Lindelof y los pares de exponentes) aunque estoy bastante seguro de que la suma de coeficientes es oscilante.
El ejemplo real de Estermann con doble polo fue $\Sigma\frac{(-1)^nd(2n)}{(2n)^s}$ y lamentablemente aquí la suma de los coeficientes es positiva ya que $\sum_{\le x}d(4n)$ ~ $\frac{x}{2}\log x$ , mientras que $\sum_{\le x}d(4n+2)$ ~ $\frac{x}{4}\log x$ ya que es fácil de ver a partir de la suma y las manipulaciones habituales (puede dar detalles si es necesario, pero no es relevante para el problema en cuestión)
Para construir realmente los contraejemplos necesitamos utilizar un teorema de Tauber - la versión débil debida a Landau y que aparece en el libro de Hardy sobre las series de Dirichlet de 1915 necesita $na_n\log n \to 0$ mientras que una versión más fuerte debida a Riesz (documento original de 1916 en alemán, pero referenciado en el libro de referencia de Korevaar sobre la teoría Tauberiana) dice que $na_n \to 0$ es suficiente para lo siguiente:
Dejemos que $f(s)=\sum_{n\geq 1}{\frac{a_n}{n^s}}$ con coeficientes $a_n$ satisfaciendo una de las condiciones Tauberianas anteriores (ambas implican que la serie de Dirichlet converge absolutamente para $\Re(s)>0$ y puede desplazarlos utilizando $b_n=na_n$ si quiere el más conocido $\Re(s)>1$ ). entonces si $f(s) \to a$ cuando $s \to 0$ a través de valores positivos, entonces $\sum{a_n} \to a$
En particular, si $f$ se extiende a una función continua (mucho más débil que la analítica) en $0$ la secuencia $\sum{a_n} \to f(0)$ por lo que si construimos una serie de Dirichlet con función sumatoria oscilante y que satisfaga la condición Tauberiana anterior, pero para la que $\sum{a_n}$ diverge hemos terminado ya que la función debe tener una singularidad en $0$ ; para los coeficientes tomaremos $\pm \frac{1}{n\log n}, \pm \frac{1}{n \log n \log \log n}, n\geq 3$ dicen para Riesz, respectivamente Landau ya que satisfacen claramente la respectiva condición Tauberiana, mientras que $\Sigma |a_n| = \infty$ Así, podemos elegir los signos para que la función sumatoria sea oscilante (poner muchos más consecutivos para que la suma de coeficientes sea mayor que 1, luego poner todos los menos hasta que la suma caiga por debajo de -2, poner más hasta que la suma suba por encima de 3, etc., etc. - el argumento habitual que funciona porque la serie diverge absolutamente, así que en cualquier paso podemos continuar con suficientes términos consecutivos del mismo signo para hacerla tan alta o tan baja como necesitemos); por construcción $\Sigma a_n$ diverge por lo que la correspondiente serie de Dirichlet $f(s)=\sum_{n\geq 1}{\frac{a_n}{n^s}}$ debe tener una singularidad en $0$ mientras que la función sumatoria oscila en $\pm \infty$
