Encontrar la solución explícita de la EDP $xu_x+tu_t=pu$

Question

Dejemos que $p\in \mathbb{R}$ y considerar $xu_x+tu_t=pu$ .

Encuentra a) Las curvas características de la ecuación.

b) Encuentre una solución explícita para $p=4$ , donde $u=1$ en el círculo unitario.

Lo que he intentado: a) Resolví las curvas características y obtuve $x=e^r+c_1$ , $t=e^r+c_2$ , $u=e^{pr+f(s)}$ . ¿Es esto correcto?

b) He sustituido $p=4$ y $u=1$ a la ecuación dándome la misma $x$ y $t$ de (a), es decir $lnx-lnt=c_2-c_1$ implica $ln\frac{x}{t}=s$ donde $s=c_2-c_1$ y $u=4r+f(s)$ que me da

$u(x,t)=4r+f(ln\frac{x}{t})$

Pero no sé qué valor de $r$ ¿debo sustituir a $u$ ¿es esto correcto o me estoy perdiendo algo?

Espero que me puedan ayudar. Gracias.

Answer 1

A) Sigamos el método de las características .

• $\frac{\text d}{\text d s}x = x$ , dejando que $x(0) = x_0$ sabemos $x = x_0e^s$ ;
• $\frac{\text d}{\text d s}t = t$ , dejando que $t(0) = t_0$ sabemos $t = t_0e^s$ ;
• $\frac{\text d}{\text d s}u = pu$ , dejando que $u(0) = u_0$ sabemos $u = u_0e^{ps}$ .

b) Supongamos que $p=4$ . El método de las características ha transformado la EDP en un conjunto de EDO para $x(s)$ , $t(s)$ , $u(s)$ que han sido resueltos analíticamente. La información que tenemos es $u=1$ en el círculo unitario (en el $x$ - $t$ avión). Planteamos el problema de forma que los valores $x_0$ , $t_0$ de $x$ , $t$ en $s=0$ se encuentran en el círculo unitario, y el valor $u_0$ de $u$ en $s=0$ es uno: $$ {x_0}^2 + {t_0}^2 = 1 \qquad\text{and}\qquad u_0 = 1 . $$ Según la expresión de las características, tenemos por tanto $x^2 + t^2 = e^{2s}$ . Por último, utilizando $u = (e^{2s})^2$ tenemos $$ u(x,t) = {(x^2 + t^2)}^2 . $$ Para consultar otros ejemplos, vea estas entradas relacionadas: (1) , (2) .

Nota: Las características son las líneas $|t| = a |x|$ para $a = \sqrt{{x_0}^{-2}-1}$ en $\Bbb R^+$ .