Probar/Desprobar: si $x^2 = a^2$ entonces $x = a$

Question

De los ejercicios del capítulo 4 de "A Book of Abstract Algebra" del profesor Charles Pinter:

Para cada una de las siguientes reglas, demuestre que es verdadera en todos los grupos $G$ o dar un contraejemplo.

$$ \text{if } x^{2}=a^{2}, \text{then } x=a$$

Creo que esto es cierto por:

$$xx = aa$$

por cancelación,

$$x=a$$

¿Es eso cierto? Además, cuando se utiliza la palabra "demostrar", ¿significa utilizar teoremas para demostrar?

Answer 1

Tomando nota de todas las otras pruebas que no es un resultado general, su argumento se mantiene para los grupos cíclicos Impares (por ejemplo. $C_3, C_5$ ), donde cada cuadrado es distinto.

Answer 2

Piensa $(R,*)$ como contraejemplo. $(R,*)$ es un Grupo. entonces $2^2={(-2)}^2$ Sin embargo $2 \neq -2$ .

Answer 3

Si pulsas dos veces el interruptor de la lámpara en tu dormitorio, obtienes lo mismo que si haces lo mismo en la cocina: nada. (Ignora el coste de la electricidad).

Pero eso no significa que la lámpara de tu habitación y la de tu cocina sean la misma lámpara.

Answer 4

El producto libre $\Bbb Z_2\ast\Bbb Z_2$ de $\Bbb Z_2$ con sí mismo tiene como presentación $$\langle a, x\mid a^2=x^2=e\rangle,$$ de lo que se desprende que, si $x=a$ entonces la presentación se convierte en $$\langle a\mid a^2\rangle,$$ una presentación para $\Bbb Z_2$ , lo que implica $\Bbb Z_2\ast\Bbb Z_2\cong \Bbb Z_2,$ una contradicción.

Answer 5

La cancelación no es posible, debe tomar la raíz de ambas partes. Las raíces cuadradas tienen la propiedad $q = \pm\sqrt{q^2}$ Por lo tanto $a = \pm x$ que no es equivalente a $a = x$ . Por lo tanto, la afirmación original ha sido refutada.