De los ejercicios del capítulo 4 de "A Book of Abstract Algebra" del profesor Charles Pinter:
Para cada una de las siguientes reglas, demuestre que es verdadera en todos los grupos $G$ o dar un contraejemplo.
$$ \text{if } x^{2}=a^{2}, \text{then } x=a$$
Creo que esto es cierto por:
$$xx = aa$$
por cancelación,
$$x=a$$
¿Es eso cierto? Además, cuando se utiliza la palabra "demostrar", ¿significa utilizar teoremas para demostrar?
En números reales estándar:
$$x^2 = a^2 \implies x^2-a^2=0$$ Podemos entonces factorizar este polinomio como $$(x-a)(x+a)=0$$ Así, $x=a$ o $x=-a$ .
Así, en el grupo de los números reales $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ con la multiplicación vemos que esta afirmación no es cierta.
En particular, $x^2=4=2^2$ tiene dos soluciones: $x=\pm 2$ .
Busque un grupo con dos elementos distintos $a, b$ de orden $2$ .
Entonces $a^2 = b^2 = e$ pero $a \neq b$ .
Por ejemplo, en el grupo simétrico $S_4$ tenemos $a = (1, 2), \;\;b = (1,3)(2,4)$ . Cada uno, cuando se compone de sí mismo, produce $a^2 = b^2 = e$ .
Más inmediatamente, en el grupo Klein-4 (orden $4$ ) $\{e, a, b, c\}$ tenemos $a^2 = b^2 = e$ pero $a\neq b$
No se puede cancelar de la forma en que lo haces, ya que sólo puedes cancelar el mismo elemento. Sin embargo, lo que sí puedes hacer es transformar la ecuación para tener una mayor idea de lo que se necesita para que esto ocurra.
Nota $a^2 = x^2$ equivale a $a^2 x^{-2} = e_G$ y además a $(ax^{-1})^2= e_G$ .
Ahora $a=x$ equivale a $ax^{-1}=e_G$ . Así que la pregunta se reduce a responder si puede haber un grupo con un elemento $b \neq e_G$ tal que $b^2= e_G$ .
La respuesta es: sí. Supongo que puedes encontrar un ejemplo explícito.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
