Probabilidad condicional y actualización de probabilidades

Question

Mi pregunta dice:

Una bombilla nueva tiene un $15$ de probabilidad de durar hasta un mes, un $20$ de probabilidad de durar más de un mes pero menos de un año, y un $65$ % de posibilidades de durar más de un año. Si mi bombilla sigue encendida después de 1 mes desde que la compré, ¿cuál es la probabilidad de que dure más de un año?

Llevo días atascado en este problema y sólo tengo una idea de cómo enfocar el problema. Veo que se trata de una probabilidad condicional y que tenemos 3 alternativas, pero no estoy muy seguro de si estaría utilizando la fórmula de Bayes en algún momento. Estoy teniendo problemas con la forma de utilizar sólo estas tres probabilidades dadas y nada más. ¿Alguien tiene sugerencias? También estoy considerando el hecho de que tal vez hay alguna superposición entre las probabilidades

Answer 1

Se quiere saber la probabilidad de que dure más de un año si ha durado más de un mes, lo que es una probabilidad condicional. Llamemos a los sucesos $Y$ y $M$ , por lo que quiere $P(Y|M)$ . Sí que se puede utilizar Bayes $$P(Y|M) = \frac{P(M|Y)P(Y)}{P(M)}.$$ La probabilidad de que haya durado más de un mes dado que ha durado más de un año es $P(M|Y) = 1$ ya que automáticamente dura más de un mes si dura un año. Y usted ya sabe (o puede conseguir fácilmente) $P(Y)$ y $P(M)$ (es decir, la probabilidad de que dure más de un año y la probabilidad de que dure más de un mes).