La pregunta anterior era: Encuentra el rango tal que la ecuación $|x^2 -3x +2|=mx $ tiene 4 soluciones reales distintas: $a,b,c,d$ y que resultó ser $0<m<3-2\sqrt{2}$ . El libro dice que la solución es $\frac{m^2+5}{2}$ . He estado tratando de expresar $a$ y $b$ como los dos resultados posibles de la ecuación cuadrática resultante de $x^23x+2=mx$ y $c$ y $d$ como los de la ecuación $x^23x+2=-mx$ y lo conectamos a $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2}$ Sin embargo, no veo cómo una expresión complicada puede acabar siendo la respuesta que da el libro. Por lo tanto, estoy seguro de que debo estar haciendo algo mal.
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dxiv
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Una pista: $a+b=m+3$ y $ab=2$ por las relaciones de Vieta para $x^2-(m+3)x+2=0\,$ Así que..:
$$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{a^2+b^2}{a^2b^2} = \frac{(a+b)^2-2\cdot ab}{(ab)^2}=\frac{(m+3)^2-2 \cdot 2}{2^2}=\frac{m^2+6m+5}{4}$$
Repita el cálculo similar para $\,\cfrac{1}{c^2}+\cfrac{1}{d^2}\,$ y luego los sumas.
Mario G
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La ecuación cuadrática $x^2+px+q=0$ tiene dos raíces distintas, a saber $$r_1=\frac{-p+\sqrt{p^2-4q}}{2}\qquad\text{and}\qquad r_2=\frac{-p-\sqrt{p^2-4q}}{2}\qquad\text{whenever }\,p^2-4q>0$$ Entonces $$r_1r_2=q\qquad\text{and}\qquad r_1^2+r_2^2=p^2-2q$$ De ello se desprende que $$\frac1{r_1^2}+\frac1{r_2^2}=\frac{r_1^2+r_2^2}{(r_1r_2)^2}=\frac{p^2-2q}{q^2}$$ Por lo tanto, teniendo en cuenta que las dos soluciones de la ecuación dada son también soluciones de $x^2-(m+3)x+2=0$ y las otras dos son soluciones de $x^2+(m-3)x+2=0$ obtenemos $$s(m)=\frac{(-m-3)^2-2(2)}{2^2}+\frac{(m-3)^2-2(2)}{2^2}=\frac{m^2+5}{2}$$
