Determine si $\sum_{n=2}^\infty(\sqrt{n^2+4}-\sqrt{n^2-4})$ es convergente

Question

Determina si la serie es convergente. $$\sum_{n=2}^\infty(\sqrt{n^2+4}-\sqrt{n^2-4})$$

Estoy considerando usar la prueba de comparación de límites pero no puedo decidirme por una serie p para usar. He conjugado la función y he llegado a $$\sum_{n=2}^\infty\frac{8}{(\sqrt{n^2+4}+\sqrt{n^2-4})}$$ El denominador me confunde. Voy a adivinar con un $p=2$ p-series pero es realmente confuso.

He probado esto: $$n^2+4n+4\ge n^2+4 \implies n+2\ge \sqrt{n^2+4}$$ $$n^2\ge n^2-4\implies n\ge \sqrt{n^2-4}$$

Pero estoy atascado ¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

Continúa. Las desigualdades que has derivado implican

$${8\over\sqrt{n^2+4}+\sqrt{n^2-4}}\ge {8\over2n+2}={4\over n+1}$$

Answer 2

Compárelo con las series $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$ .

$\frac{\sqrt{n^2+4}-\sqrt{n^2-4}}{\frac{1}{n}} = \frac{8n}{\sqrt{n^2+4}+\sqrt{n^2-4}} =\\ = \frac{8}{\sqrt{1+\frac{4}{n^2}}+\sqrt{1-\frac{4}{n^2}}} $

Y es igual a $4$ , si $n\to\infty$ . (Por supuesto, sólo funciona si has estudiado hasta ahora. En caso contrario, consulte otras respuestas para obtener una pista).

Answer 3

HINT

Considera la suma : $$\sum \frac{1}{2n} < \sum \frac{1}{\sqrt{n^{2}-4}+\sqrt{n^{2}+4}}$$

Eso es cierto para $n \ge 2$ .