Teorema de Rouché $e^{-z}-2z^2=1$

Question

Demuestre que la ecuación $$e^{-z}-2z^2=1$$ tiene exactamente dos soluciones en el disco $|z|<1$ y que ambos son reales.

Estoy tratando de usar el teorema de Rouché para encontrar los ceros de $f(z)=e^{-z}-2z^2-1=0$ pero no puedo encontrar una manera de dividir $f(z)=g(z)+h(z)$ tal que $|g(z)|<|h(z)|$ para todos $|z|<1$ . No importa cómo elija mis funciones, en $z=0$ Siempre consigo $|g(z)|=|h(z)|$ .

¿Es la de Rouché una forma equivocada de abordar el problema? Si es así, ¿qué método podría utilizar en su lugar?

En cuanto a la segunda parte del problema. Se agradecería cualquier empujón en la dirección correcta, ya que no tengo ni idea de cómo mostrar por qué las soluciones tienen que ser reales.

Answer 1

El requisito $|g(z)|<|h(z)|$ sólo se aplica al límite, es decir $C=\{z:|z|=1\}$ .

En el plató $C$ tenemos las siguientes estimaciones,

$$|-2z^2| \geq 2$$

$$|e^{-z}-1|\leq e-1$$

Así que $f(z)$ tiene tantos ceros (contando la multiplicidad) como $-2z^2$ en la bola abierta de radio $1$ . Desde $-2z^2$ tiene dos ceros, $f$ tiene dos ceros.

Hay una forma de mostrar que las raíces del balón deben ser reales. Podemos demostrar que la función real $$f(x) = e^{-x}-2x^2-1=0$$

tiene dos raíces en el intervalo $]-1,1[$ utilizando el teorema del valor intermedio. Tenemos lo siguiente,

$$f(-1) = e-3<0 \\ f(1) = e^{-1}-3<0\\ f(0) = 0\\ f(-\frac{1}{2}) = \sqrt{e}-\frac{1}{2}-1>0$$

Por la IVT la función $f$ tiene una raíz en el intervalo $]-1,-\frac{1}{2}[$ y también encontramos una raíz en $0$ . Así que $f(z)$ tiene dos raíces reales en la bola abierta y éstas son las únicas raíces por el teorema de Rouche.