Interpretación geométrica del cono dual de $l^1$ es $l^\infty$ ?

Question

Acabo de notar en alguna parte de Optimización Convexa que el cono dual de $l^1$ es $l^\infty$ ¡! (Un diamante en $\mathbb{R}^2$ para $l^1$ es un cuadrado en $\mathbb{R}^2$ para $l^\infty$ .) De hecho, no me lo puedo imaginar. ¿Puede explicarlo geométricamente mediante la definición del cono dual? [Ref. Libro de Optimización Convexa, Stephen Boyd]

$K = \{(x,t): \Vert x\Vert_1 \le t\} \Rightarrow K^* = \{(x,t): \Vert x\Vert_\infty \le t\}$

Definición:
$K$ es un cono, entonces el cono dual es : $K^* = \{y: x^T y \geq 0 \ \text{for all} \ x \in K\}$

Estaría encantado si tiene algún comentario al respecto. Para simplificar, se puede discutir sobre eso en $\mathbb{R}^2$ .

Answer 1

La clave es la doble relación $\|x\|_\infty = \max_{\|z\|_1 \le 1} z^T x$ .

Nota \begin{eqnarray} K^* &=& \{ (y,s) | x^T y + st \ge 0 \text{ for all } (x,t) \in K \} \\ &=& \{ (y,s) | -x^T y + s \ge 0 \text{ for all } (-x,1) \in K \}\\ &=& \{ (y,s) | x^T y \le s \text{ for all } \|x\|_1 \le 1 \}\\ &=& \{ (y,s) | \max_{\|x\|_1 \le 1 }x^T y \le s \}\\ &=& \{ (y,s) | \|y\|_\infty \le s \}\\ \end{eqnarray}