¿La acción transitiva de grupo implica estabilizadores conjugados incluso cuando el grupo es infinito?

Question

Se ha hecho la misma pregunta. Pero la respuesta no aborda mis preocupaciones aquí.

Esto fue un ejercicio de libro de texto. No mencionaron que el orden del grupo tiene que ser finito.

Es inmediatamente obvio para mí que tomar dos estabilizadores $G_x$ , $G_y$ podemos demostrar que para el elemento del grupo $g$ para lo cual $gx=y$ , $gG_xg^{-1} \subset G_y$ . Además, podemos demostrar $gG_x g^{-1}$ es isomorfo a $G_y$ . Pero aún así eso no implica $gG_xg^{-1}=G_y$ (por ejemplo, el grupo de enteros $nZ$ y $2nZ$ ) a menos que $|G|<\infty$ . ¿Es este problema erróneo en el sentido de que $G$ debe ser finito? ¿Cómo demostrarías el caso infinito?

Answer 1

$gx=y \Rightarrow g^{-1}y=x \Rightarrow g^{-1}G_yg \le G_x \Rightarrow G_y \le gG_xg^{-1}$ .