Demostración de la fórmula de la serie geométrica

Question

Así que para, la fórmula anterior, cómo obtuvieron $(n+1)$ a para la progresión geométrica cuando $r = 1$ . También estoy confundido de dónde viene la a negativa en la siguiente secuencia de pasos.

Answer 1

Cuando $r=1$ tenemos

$$S_{n}=\sum_{j=0}^{n}ar^{j}=\sum_{j=0}^{n}a=\underbrace{a+a+a+...+a+a}_{(n+1)-\text{times}}=...$$

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Para $r\neq 1$ , dejemos que

$$S_{n}=\sum_{k=0}^{n}ar^{k}=a+ar+ar^{2}+...+ar^{n-1}+ar^{n}$$

Multiplicando por $r$ tenemos

$$rS_{n}=\sum_{k=0}^{n}ar^{k+1}=ar+ar^{2}+ar^{3}+...+ar^{n}+ar^{n+1}$$

Entonces qué términos se cancelan cuando calculamos $rS_{n}-S_{n}$ ?

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O sumando y restando el término $a$ a la RHS de $rS_{n}$ tenemos

$$rS_{n}=\color{red}{a}+ar+ar^{2}+ar^{3}+...+ar^{n}+ar^{n+1}-\color{red}{a}$$ $$=\left(a+ar+ar^2+...+ar^{n}\right)+ar^{n+1}-a$$

¿y a qué equivale el término entre paréntesis?

Answer 2

Considere la suma $$\sum_{j=0}^{\infty}ar^j$$ .

Ahora para encontrar la suma necesitamos mostrar que la secuencia de la suma parcial de la serie converge.

Consideremos la suma parcial de la serie $$S_n=a+ar+ar^2+ar^3+\cdots ar^n$$

Considere $$rS_n=ar+ar^2+ar^3+\cdots ar^{n+1}$$

Ahora $$S_n-rS_n=a-ar^{n+1}\iff S_n(1-r)=a-ar^{n+1}$$

Para $r\neq 1$ $$S_n=\frac{a-ar^{n+1}}{1-r}$$

Ahora $S_n$ es el $n$ -en la suma parcial de su serie, para encontrar la suma es suficiente tomar $\lim_{n\to \infty }S_n$ y si existe a un número $s$ decimos que la suma de la serie es $s$ . Pero ¿qué se puede decir de

$$\lim_{n\to \infty} \frac{a-ar^{n+1}}{1-r}$$

¿qué se puede deducir de $r$ para el límite existe?

En el caso de que el límite anterior exista, entonces $$\sum_{j=0}^{\infty}ar^{j}=s$$