Valores propios y vectores propios de $X'X$ y $XX'$

Question

Estoy tratando de derivar (o demostrar) la relación entre los valores y vectores propios de las matrices $X'X$ y $XX'$ . Es bastante intuitivo que están relacionados pero no puedo derivar la relación. El resultado se indica simplemente de pasada como parte de otra prueba en un libro de métodos estadísticos multivariantes, pero cuando intenté resolverlo no pude. El $X$ son vectores muestrales así que números reales, digamos de dimensión ( $n \times p$ ). El resultado es:

Si $l_k$ y $\mathbb a_k$ son los $k^{th}$ valor propio y vector propio de $X'X$ entonces el $k^{th}$ el valor propio y el vector propio de XX' son $l_k$ y ${l_k}^{-1/2}X\mathbb a_k$ .

¿Puede alguien indicarme una buena referencia que explique esto o mostrarme cómo?

Muchas gracias por la ayuda.

Answer 1

El resultado subyacente es más general:

Si $\lambda \neq 0$ es un valor propio de $AB$ con el vector propio $v$ entonces $ABv = \lambda v$ . Por lo tanto, $BABv = BA (Bv) = \lambda Bv$ (y $Bv \neq 0$ Si no es así $ABv=0$ ).

Por lo tanto, si $\lambda \neq 0$ es un valor propio de $AB$ con el vector propio $v$ entonces $\lambda$ es un valor propio de $BA$ con el vector propio $Bv$ .

Toma $A=X^T$ , $B=X$ .

Tenga en cuenta que si $X=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ entonces $X^T X=1$ tiene exactamente un valor propio en $1$ pero $X X^T $ tiene valores propios $\{0,1\}$ .

Answer 2

Desde $l_k^{-\frac{1}{2}}$ no está definido para $l_k=0$ Asumiré $l_k\neq 0$ .

Dejemos que $a_k\neq 0$ tal que $YXa_k = l_k a_k$ entonces $$XY \left(l_k^{-\frac{1}{2}}Xa_k\right) = Xl_k^{-\frac{1}{2}}(YXa_k) = Xl_k^{-\frac{1}{2}}(l_k a_k) = l_k\left(l_k^{-\frac{1}{2}}Xa_k\right).$$

Obsérvese que el factor $l_k^{-\frac{1}{2}}$ es en realidad superfluo, ya que cualquier múltiplo no nulo de un vector propio es también un vector propio. Además, $Xa_k\neq 0$ desde $Y(Xa_k) = l_k a_k\neq 0$ .