polinomios que convergen puntualmente a $f$ en $\mathbb{R}$

Question

Dejemos que $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ ser continua. ¿Existe una secuencia de polinomios que convergen puntualmente a $f$ en $\mathbb{R}$ ?

Sé que es cierto en un conjunto compacto en $\mathbb{R}$ .

Answer 1

Por el teorema de Weierstrass, para cada $k>0$ existe un polinomio que aproxima $f$ con límite de error uniforme $1/k$ en $[-k,k].$ Llama a ese polinomio $P_k$ . Afirmo que la secuencia $P_k$ converge puntualmente a $f$ . Dado $x$ para todos $k>|x|$ tenemos $|f(x)-P_k(x)|\le 1/k$ Así que para eso $x$ , $P_k(x)\to f(x)$ . Pero, por supuesto, esta convergencia dista mucho de ser uniforme: para cualquier $k$ el error $P_k(x)-f(x)$ es completamente incontrolable cuando $|x|>k$ .