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Resto de un polinomio cuando se divide por un polinomio con raíces no reales

¿Cuál será el resto cuando $x^{2015}+x^{2016}$ se divide por $x^2+x+1$ sin utilizar el hecho de que $x^2+x+1$ tiene raíces como raíces cúbicas no reales de la unidad.

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Farkhod Gaziev Puntos 6

$$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=?$$

$$x^{2015}=(x^3)^{671}x^2=?$$

$$x^{2016}=(x^3)^{672}=?$$

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dxiv Puntos 1639

Sugerencia: utilizando ese $a^3-1=(a-1)(a^2+a+1)$ y así $\,x^{3k}-1=(x-1)(x^2+x+1)(\ldots)\,$ :

$$ \big(x^{2016}\color{red}{-1}\big)+\big(x^{2015}\color{red}{-x^2}\big)\color{red}{+1+x^2} \\ =\left(\left(x^3\right)^{672}-1\right)+x^2\left(\left(x^3\right)^{671}-1\right)+\big(x^2\color{blue}{+ x} + 1\big)\color{blue}{- x} $$

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Bernard Puntos 34415

Dejemos que $K$ sea el campo base, y considerar el problema más general de encontrar el resto $r(x)$ de la división de un polinomio $p(x)\in K[x]$ por $(x-a)(x-b)$ ( $a\ne b$ ) en términos de $p,a$ y $b$ .

Sabemos que, dividiendo $p(x)$ por $x-a$ obtenemos $$p(x)=q(x) (x-a)+p(a),\qquad q(x)\in K[x].\tag1$$ Ahora dividiendo $q(x)$ por $x-b$ produce de manera similar $\;q(x)=q_1(x)(x-b)+q(b)$ Así que $$p(x)=q_1(x)(x-a)(x-b)+\underbrace{q(b)(x-a)+p(a)}_{\text{remainder}}.$$

Ahora desde $(1)$ deducimos $\;q(b)=\dfrac{p(b)-p(a)}{b-a}$ Así que \begin{align} r(x)&=\frac{p(b)-p(a)}{b-a}(x-a)+p(a)=\frac{\bigl(p(b)-p(a)\bigr)(x-a)+(b-a)p(a)}{b-a}\\[1.5ex] &=\frac{p(b)(x-a)-p(a)(x-b)}{b-a}=\frac1{b-a}\,\begin{vmatrix}x-a &p(a)\\x-b&p(b)\end{vmatrix} . \Fin

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