Sabiendo que
$$\int^{2\pi}_{0}\sqrt{a^2\cos^{2}t+b^2\sin^{2}t}dt\int_{0}^{2\pi}\sqrt[]{1+\cos^{2}t}dt$$
cómo encontrar el valor de $a$ y $b$ ? ¿Integral elíptica? Gracias.
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$$\int^{2\pi}_{0}\sqrt{a^2\cos^{2}(t)+b^2\sin^{2}(t)}dt = |a|\int^{2\pi}_{0}\sqrt{1-\left(1-\frac{b^2}{a^2}\right)\sin^{2}(t)}dt =4|a|\text{E}\left(1-\frac{b^2}{a^2}\right)$$ E $(X)$ es la integral elíptica completa de segundo tipo.
$$\int^{2\pi}_{0}\sqrt{1+\cos^{2}(t)}dt =\sqrt{2}\int^{2\pi}_{0}\sqrt{1-\frac{1}{2}\sin^{2}(t)}dt = 4\sqrt{2}\text{ E}\left(\frac{1}{2}\right)$$ La ecuación que hay que resolver es : $$|a|\text{E}\left(1-\frac{b^2}{a^2}\right) = \sqrt{2}\text{ E}\left(\frac{1}{2}\right)$$ Dejemos que $X=1-\frac{b^2}{a^2}\quad$ Hense $\quad X\leq 1\quad$ y E $(X)$ es real.
$a=\pm\frac{b}{\sqrt{1-X}}\quad$ Esto transforma la ecuación en : $$\text{E}(X) = \sqrt{2}\text{ E}\left(\frac{1}{2}\right)\frac{\sqrt{1-X} }{|b|} \qquad (1)$$ En $-\infty<X\leq 1$ las funciones E $(X)$ y $\sqrt{1-X}$ son ambas funciones suaves. Ambas son suaves y decrecientes.
Dado un valor de $b$ las curvas E $(X)$ y $\sqrt{1-X}$ se cruzan en un solo punto.
Por ejemplo, dado $b=1\quad\to\quad X=\frac{1}{2}\quad\to\quad a=\pm \sqrt{2}$
Por lo tanto, son una infinidad de soluciones : Para cada valor arbitrario de $b$ la ecuación trascendental (1) tiene una raíz a la que corresponde un valor de $X$ y un valor de $|a|$ .
AsdrubalBeltran
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David-W-Fenton
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Dejemos que $F(a,b) = \int^{2\pi}_{0}\sqrt{a^2\cos^{2}t+b^2\sin^{2}t}dt$ para $a, \, b \ge 0$ . Como se señala en la respuesta anterior, $\sqrt{1 + \cos^2 t} = F(\sqrt{2},1)$ .
Por lo tanto, se pregunta si la solución de $F(a,b) = F(\sqrt{2},1)$ es único. Es evidente que no es así. El conjunto solución es una curva analítica ya que $F$ es analítico y $\nabla F$ nunca desaparece. Para obtener la parametrización, hay que tener en cuenta que $F(a,b) = bF\left(\frac{a}{b},1 \right)$ . Esto se puede resolver en términos de integrales elípticas de segundo tipo.
