Longitud de la curva $\gamma(t)=(t \cos t,t\sin t)$

Question

Encuentra la longitud de la curva $\gamma(t)=(t \cos t,t\sin t)$ , $t\in[0,\pi]$

Así que primero empiezo diciendo que la curva está en $C^1$ y por lo tanto puedo utilizar el $L(\gamma)=\int_a^b\|\gamma'(t)\|dt$

¿Está bien?

Así que

$\gamma'(t)=( \cos t-t \sin t,\sin t+t\cos t)$

$\|\gamma'(t)\|= \sqrt{(\cos t-t \sin t)^2+(\sin t+t\cos t)^2}=\\=\sqrt{\cos^2t -2t\cos t \sin t+t^2\sin ^2t+\sin ^2t+2t \cos t \sin t+t^2\cos ^2t}=\sqrt{1+t^2}$

Así que

$\int_{0}^{\pi}\sqrt{1+t^2}dt$

$t=\tan\theta, dt=\sec \theta d \theta$

$\int_{0}^{\pi}\sqrt{1+\tan^2 t} \sec \theta d \theta=\int_{0}^{\pi}\sec^3 \theta d \theta=\int_{0}^{\pi}\sec \theta \cdot\sec^2\theta d\theta=\int_{0}^{\pi}\sec \theta \cdot(1+\tan^2\theta) d\theta$

$u=\tan \theta, du=\sec \theta d\theta$

$\int_{0}^{\pi}(1+u^2) du=u+\frac{u^3}{3}|_0^{\pi}=\tan\theta+\frac{\tan^3\theta}{3}|_0^{\pi}=\sqrt{1+t^2}+{(1+t^2)^{\frac{3}{2}}}|_0^{\pi}=\\=\sqrt{1+\pi^2}+{(1+\pi^2)^{\frac{3}{2}}}-2$

¿Cuál es el error?

Answer 1

Su integral es $\frac{1}{2}[t\sqrt{1+t^2}+\ln(t+\sqrt{1+t^2})]_0^\pi=\frac{\pi\sqrt{1+\pi^2}+\ln(\pi+\sqrt{1+\pi^2})}{2}$ . Su sustitución $t=\tan\theta$ también terminaría el problema (ver aquí ), pero el límite superior debe ser $\arctan\pi$ .

Answer 2

Después de la sustitución $t=\tan \theta$ debe cambiar los límites de la integración y, lo que es más importante, tiene $$ dt=\sec^2\theta d\theta $$

(y lo mismo para

$ u=\tan \theta \qquad du=\sec^2 \theta d \theta \quad$ que devuelve la integración al punto de partida: $\int_{0}^{\pi}\sqrt{1+u^2}du$

Answer 3

¿Qué pasa con las funciones hiperbólicas?

$$t=\sinh x\implies dt=\cosh x\,dx\implies\int_0^\pi\sqrt{1+t^2}\,dt=\int_0^{\text{arcsinh}\pi}\sqrt{1+\sinh^2x}\cdot\cosh xdx=$$

$$=\int_0^{\text{arcsinh}\pi}\cosh^2x\,dx=\left.\frac12\left(x+\sinh x\cosh x\right)\right|_0^{\text{arcsinh}\pi}=\frac12\left(\text{arcsinh}\pi+\pi\sqrt{1+\pi^2}\right)$$