Encontrar un número entero único $g$ tal que $g^2 \equiv 1 \mod p$

Question

Encontrar un número entero único $g$ tal que $g^2 \equiv 1 \mod p$ donde $p > 3$

Originalmente, pensé que era igual a $1$ desde $1^2 \equiv 1 \mod p$ .

$g$ tiene que pertenecer al sistema de residuos reducido de $p$ .

Answer 1

$g^2 \equiv 1 \bmod{p} \iff (g+1)(g-1) \equiv 0 \bmod{p} \iff g \equiv \pm 1 \bmod{p}$ . Desde $p$ es primo. Estos son distintos ya que $p \neq 2$ .

Así que no hay enteros únicos que satisfagan esto, de hecho hay dos clases de residuos mod $p$ donde cada entero de esa clase de residuo satisface esa congruencia.

Answer 2

Estoy asumiendo que $p$ es un primo. Si es así, necesitamos $$p \mid (g^2-1) \implies p \mid (g+1)(g-1)$$ Desde $p$ es un primo, o bien $p \mid (g+1)$ o $p \mid (g-1)$ . Además, como $p$ es mayor que $3$ No puede dividir ambos simultáneamente. Por lo tanto, esto obliga a $g \equiv \pm 1\pmod{p}$ .

Answer 3

O bien $g=1$ o $g=-1$ . Así que, o bien $g=1$ o $g=p-1$ .