Mostrando que el grupo de automorfismo es trivial

Question

Dejemos que $f(x) \in k[x]$ sea un polinomio separable de grado $n\geq 3 $ con grupo de Galois isomorfo a $S_n$ y que $\alpha \in \bar{k}$ sea una raíz de $f(x)$ .

a) Demuestre que f es irreducible (ya lo he demostrado)

b) Mostrar $Aut_k(k(\alpha)) = \{id\}$

No estoy seguro de cómo hacer (b).

Answer 1

Para demostrar que $\textrm{Aut}_k(k(\alpha))$ es trivial, basta con demostrar que la única raíz de $f(x)$ en $k(\alpha)$ es $\alpha.$

Supongamos por el contrario que hay alguna raíz $\beta \in k(\alpha)$ con $\beta \neq \alpha$ . Entonces en $k(\alpha)[x]$ tenemos $$f(x) = (x - \alpha)(x - \beta)g(x),$$ donde $g(x)$ tiene grado $n - 2$ . Dejemos que $L$ sea el campo de división de $f(x)$ en $k$ . Dado que el grupo de Galois de $f(x)$ es $S_n$ Debemos tener $[L : k] = n!$ . Por la factorización anterior, $[L : k(\alpha)] \leq (n - 2)!$ . Desde $f(x)$ es irreducible, también tenemos $[k(\alpha) : k] = n$ . Pero entonces $$[L : k] = [L : k(\alpha)][k(\alpha) : k] \leq (n - 2)! \cdot n < n!,$$ una contradicción. Aquí utilizamos $n \geq 3$ para concluir la última desigualdad anterior.