He expandido esta ecuación diferencial como una serie para obtener la relación de recurrencia $$a_{n+2}=\frac{a_n(n^2-n+2)}{n^2+3n+2}.$$ No sé cómo encontrar $a_n$ en términos de $a_0$ y $a_1$ para poder obtener la solución general. ¿Cómo lo hago?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Claude Leibovici
Puntos
54392
Esto no es una respuesta, pero es demasiado largo para un comentario.
Como comenta Winther, encontrar algo más bonito que la recurrencia general parece casi imposible.
Jugando con un CAS y partiendo de lo que escribió Winther, lo que obtuve es el siguiente monstruo para $a_{2n}$ $$\frac{ 4^{n-1} \cosh \left(\frac{\sqrt{7} \pi }{2}\right) \Gamma \left(\frac{1}{4} \left(1-i \sqrt{7}\right)\right) \Gamma \left(\frac{1}{4} \left(1+i \sqrt{7}\right)\right) \Gamma \left(n-\frac{i \sqrt{7}}{4}-\frac{1}{4}\right) \Gamma \left(n+\frac{i \sqrt{7}}{4}-\frac{1}{4}\right)}{\pi ^2 \Gamma (2 n+1)}a_0$$ $a_{2n+1}$ es tan agradable.
Como dijo Winther, este tipo de belleza sólo refleja el hecho de que la solución de la ecuación diferencial implica funciones hipergeomáticas feas $$y=c_1 \, _2F_1\left(-\frac{1}{4}-\frac{i \sqrt{7}}{4},-\frac{1}{4}+\frac{i \sqrt{7}}{4};\frac{1}{2};x^2\right)+i c_2 x \, _2F_1\left(\frac{1}{4}-\frac{i \sqrt{7}}{4},\frac{1}{4}+\frac{i \sqrt{7}}{4};\frac{3}{2};x^2\right)$$
