Encuentre $U+V$ dado $U\alpha^{-5} + V\beta^{-5} = 22$

Question

Encuentre $U+V$ dado $U\alpha^{-5} + V\beta^{-5} = 22$ cuando $\alpha, \beta$ son raíces de $x^2-x-1$ y $U,V$ son enteros .

Para simplificar, sólo muestro el término U: $$U+V = U\alpha^{-5}\alpha^{5}+ ... \\ = U \alpha^{-5}(\alpha^4 \alpha)\\ = U \alpha^{-5}((\alpha+1)^2 \alpha)+ ...\\ =U \alpha^{-5}((\alpha +1) \alpha + 2(\alpha+1) + \alpha)+ ... \\ = U \alpha^{-5}(\alpha +1+\alpha + 2 \alpha + 2 + \alpha)+ ...\\ = U \alpha^{-5 }(5\alpha + 3) + ... \\ = 5 U \alpha^{-4}+5V\beta^{-4} + 3 \cdot 22 $$

Ahora Cómo deshacerse de $\alpha^{-4}, \beta^{-4}$ ? Por favor, ayúdenme, sólo denme pistas.

¡Muchas gracias!

Answer 1

Comience con $\alpha^2 = \alpha + 1$ y $\beta^2 = \beta + 1$ ya que estos satisfacen $x^2 = x+1$ . Claramente, ambos $\alpha$ y $\beta$ son distintos de cero.

Ahora, $\alpha^{-1} = \alpha - 1$ . Cuadrar ambos lados : $\alpha^{-2} = \alpha^2 - 2\alpha + 1 = 2 - \alpha$ . Cuadrando de nuevo, $\alpha^{-4} = (2-\alpha)^2 =$ $ 4 - 4 \alpha + \alpha^2 = 5 - 3 \alpha$ . Otro $\alpha$ la multiplicación da $\alpha^{-5} = 5\alpha^{-1} - 3 = 5\alpha - 8$ . ¿Puedes ver la secuencia de Fibonacci aquí?

Lo mismo ocurre con $\beta$ .

Por lo tanto, $U\alpha^{-5} + V \beta^{-5} = U(5 \alpha - 8) + V(5 \beta- 8) = 22$ . Por lo tanto, $5\alpha U + 5\beta V = 22 + 8(U+V)$ .

Por lo tanto, $5(1 + \sqrt 5)U + 5(1 - \sqrt 5)V = 44 + 16(U+V)$ , reescribir a $5\sqrt{5}(U-V) = 44 + 11(U+V)$ . Por lo tanto, obtenemos que $U-V = 0$ de lo contrario el LHS será irracional y por lo tanto $44 = -11(U+V)$ así que $U+V = -4$ . Por supuesto, obtenemos $U= V = -2$ de aquí.

Idea clave: si $\alpha$ es la raíz de una ecuación cuadrática, las potencias mayores de $\alpha$ puede expresarse como $c \alpha + d$ para algunos $c,d$ .