Existen algunas funciones especiales de 3 o más variables complejas que son analíticas en algún dominio (una región en $\mathbb C^n$ ) con respecto a cada variable. Para dar algunos ejemplos: el función beta incompleta $B(z; a, b)$ El Lerch trascendente $\Phi(z, s, a)$ El Función elíptica de Weierstrass $\wp(z;g_2,g_3)$ Funciones de la familia hipergeométrica, etc.
¿Es posible expresar cada una (o al menos algunas) de estas funciones como una composición de varias funciones analíticas de 1 o 2 variables complejas?
¿O, si restringimos su dominio a los reales, es posible expresarlos como una composición de varias funciones inifinitamente diferenciables (con respecto a cada variable) de 1 o 2 variables reales?
La misma pregunta se aplica a las funciones de 2 variables (por ejemplo, polilogaritmos, integrales elípticas incompletas, función zeta de Hurwitz, funciones de la familia de Bessel, etc.): ¿Es posible representarlas como una composición de varias funciones infinitamente diferenciables de 1 variable y la única función fija de 2 variables $(x,y)\mapsto x+y$ ?
Para dar un ejemplo cuando la respuesta a la última pregunta es positiva, considere el función beta completa $B(a,b)$ . Se puede representar como $$B(a,b)=\exp\big((\ln\Gamma(a)+\ln\Gamma(b))+(-\ln\Gamma(a+b))\big)$$ que es una composición de la función suma de 2 variables y varias funciones de 1 variable infinitamente diferenciables $x\mapsto\exp(x)$ , $x\mapsto\ln\Gamma(x)$ y $x\mapsto -x$ .
