deberes - problema de probabilidad

Question

Se lanza un dado 3 veces y la suma de los 3 números lanzados es 15. Entonces, ¿cuál es la probabilidad de que el primer lanzamiento haya sido un cuatro?

Mi intento:

El espacio muestral para el problema anterior, $S = 6^3$ .

Combinaciones de números lanzados tales que su suma es $15$ y el primer dígito es $4 = [\{4, 5, 6\}, \{4, 6, 5\}]$

Por lo tanto, el número total de conjuntos posibles son 2. Por lo tanto, la probabilidad para el evento requerido (digamos $A$ ), $$P(A) = \frac{2}{216}$$ $$\therefore P(A) = \frac{1}{108}$$

En mi libro, la respuesta dada es $\frac{1}{5}$ . ¿Cómo es mi respuesta?

Answer 1

Como la suma de los 3 números lanzados es 15 se deduce que el espacio muestral está dado por 10 elementos: 15=6+6+3 ( $3!/2!=3$ formas), 15=6+5+4 (¡3!=6 formas), 15=5+5+5 ( $3!/3!=1$ manera).

Hay dos casos en los que $4$ es el primer valor 4,5,6 y 4,6,5.

Por lo tanto, la probabilidad es $p=2/10=1/5$ .

Answer 2

Hay que tener en cuenta todas las formas posibles de obtener $15$ .

Esas posibilidades son:

$\{3, 6, 6 \}$ , $\{6, 3, 6 \}$ , $\{6, 6, 3 \}$

$\{5, 5, 5 \}$

$\{4, 5, 6 \}$ , $\{4, 6, 5 \}$ , $\{5, 4, 6 \}$ , $\{5, 6, 4 \}$ , $\{6, 4, 5 \}$ , $\{, 5, 4 \}$

Total = $10$

Sólo hay $2$ casos en los que $4$ es el primer elemento, por lo que

$$P = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$$