Por Hairer/Wanner: "Resolución de ODE II: Problemas de rigidez y DAE"
Estabilidad de los métodos numéricos
El hilo conductor de estabilidad es que si tu sistema de EDO tiene un sub-manifold atrayente, que entonces esperas también que la solución numérica converja hacia ese sub-manifold. El caso más sencillo es el de un sistema lineal homogéneo que es estable en el origen. Entonces el método numérico debe respetar ese comportamiento.
Estabilidad A
En el caso más sencillo, esto conduce a la ecuación de prueba $y'=\lambda y$ , $λ\in \Bbb C$ , $Re(λ)\le 0$ . En el caso de los métodos de un solo paso, esto conduce a la propagación $y_{n+1}=R(λh)y_n$ con $R$ un polinomio para los métodos explícitos y una función racional para los métodos implícitos. La combinación de la EDO, el método y el tamaño del paso es estable si $|R(λh)|<1$ .
Estabilidad A: Un método de un solo paso se denomina estable A si $|R(z)|\le1$ para todos $z\in\Bbb C^-=\{z:Re(z)\le0\}$
Para los métodos de varias etapas $$ y_{n}+\sum_{j=1}^q a_{n-j}y_{n-j} = h\sum_{j=0}^q b_jf_{n-j}=λh\sum_{j=0}^q b_jy_{n-j}, $$ este análisis es un poco más complicado, ya que se obtiene una ecuación en diferencia de orden superior a 2. Utilizando una función generadora $Y(t)=\sum y_jt^{-j}$ se obtiene la solución como $$ Y(t)=\frac{c(Y_0,λh)(t)}{a(t)-λhb(t)}=\sum\frac{A_k(Y_0,λh)}{t-r_k(λh)}, $$ donde en el medio $a(t)=t^q+a_{q-1}t^{q-1}+...a_0$ , $b(t)=b_qt^q+...+b_0$ y $c(Y_0,λh)(t)$ es un polinomio formado a partir de los valores iniciales $Y_0=(y_0,...,y_{q-1})$ . El lado derecho es la descomposición de la fracción parcial utilizando las raíces $r_k(z)$ de $a(t)-zb(t)$ . La solución cae a cero si todos $r_k(z)$ están dentro del círculo unitario para $z=λh$ . Si se debilita la demanda a un comportamiento no expansivo, entonces la condición es $|r_k(z)|\le 1$ y para las raíces múltiples $|r_k(z)|< 1$ . Llamamos al conjunto de todos estos $z$ el conjunto estable $S$ .
Un método de varios pasos es estable en A si $\Bbb C^-\subset S$ .
Estabilidad cero
es una condición previa para la estabilidad. Sólo es relevante en el caso de los métodos lineales de varios pasos, los métodos de un paso lo tienen automáticamente. Dice que si el lado derecho es cero, la solución numérica debe ser constante o casi, incluso bajo pequeñas perturbaciones, pequeñas adiciones de ruido aleatorio en cada paso.
Más concretamente, entre los $r_k(0)$ exactamente uno tiene valor $1$ ( $a(1)=0$ es necesario para la coherencia), todos los demás tienen que estar dentro del círculo unitario. En su defecto se obtiene una $q=r_k(0)$ con $|q|>1$ donde los errores locales se propagan desde el paso $k$ al paso $k+\Delta k$ con el coeficiente $q^{Δk}=q^{Δt/h}$ o una raíz múltiple en $1$ que da un crecimiento del error como $Δk=Δt/h$ o incluso un grado superior a lo largo del tiempo $Δt=t_{k+\Delta k}-t_k=Δk\,h$ , que crece más rápido cuanto más pequeño $h$ es. En general, este comportamiento no es deseable.
A $(\alpha)$ -estabilidad
Cualquier método multipaso estable A tiene orden 2 o menos. Para obtener métodos de orden superior y seguir teniendo un criterio de calidad similar hay que debilitar la definición de estabilidad A. La variante más común es
Un método de varios pasos es A $(\alpha)$ -estable si $S\supset\{z\ne 0:|\arg(-z)|<\alpha\}$
Estabilidad L e I
En los métodos de un paso, la función racional $R(z)$ si tiene un valor acotado en $z=-\infty$ tiene el mismo valor para todos los límites con $|z|\to\infty$ . Así, aunque pueda parecer intuitivo tener $|R(iy)|=1$ Esto implicaría que $|R(x)|$ no puede caer a cero para $x\to -\infty$ en el eje real negativo.
L-estable si es estable en A y $\lim_{|z|\to\infty}R(z)=0$ .
También puede interesarse por la fracción $R(z)/e^z$ y donde su módulo es menor/igual/mayor que 1.
I-estable si $|R(iy)|\le 1=|e^{iy}|$ .
I-estable y todos los polos de $R$ en el semiplano positivo implica A-estable.
