Suma sobre conjuntos de índices arbitrarios

Question

Supongamos que $\mathcal{I}$ es un conjunto de indexación arbitrario, y supongamos que miramos una familia $A_i$ de subconjuntos de algún conjunto $E$ . Digamos que fijamos un elemento $x \in E$ y definimos la función $f: \mathcal{I} \to \{0,1\}$ por \begin{equation} f_x(i) = \begin{cases} 1 &\text{if } x \in A_i\\ 0 &\text{otherwise} \end{cases} \end{equation}

Ahora, ¿la función $F: E \to \mathbb{R} \cup \{\infty\}$ dado por \begin{equation} F(x) = \sum_{i \in I} f_x(i) \end{equation} ¿tiene sentido?

Lo pregunto porque me he encontrado con un comentario que dice que el símbolo de la suma $\sum$ no puede utilizarse en los casos en que el conjunto de indexación $\mathcal{I}$ es incontable, en cambio, hay que utilizar la teoría de la integración para ello (y por tanto, el símbolo $\int$ ).

Sin embargo, a mí no me parece que la función anterior $F$ está mal definida. ¿Qué me falta?

Gracias por sus comentarios.

Answer 1

Si $f: \mathcal{I} \to [0,\infty)$  es una función, con $\mathcal{I}$  un conjunto, puede definir $$ \sum_{ x \in \mathcal{I}} f(x) = \sup \{ \sum_{x \in F } f(x) \,|\, F \subseteq \mathcal{I}, F \text{ finite } \}.$$ En otras palabras, tomamos el supremum sobre todas las sumas parciales finitas. Nótese que esto equivale a tomar la integral de $f$  con respecto a la medida de recuento, pero no se requiere ninguna teoría de integración para entenderlo; es simplemente el supremum sobre un conjunto de números reales, y que siempre existe (siempre que permitamos $+ \infty$ ).

Editar: Sin embargo, como otros han señalado, no es tan interesante (pero probablemente sea útil en ciertos contextos tener una definición para indexar conjuntos que no sea $\mathbb{N}$ ). Consideremos el conjunto $E = \{ x \in I \,|\, f(x) > 0 \}$ . Si esto es incontable, entonces la suma (como se definió anteriormente) es infinita. Si $E$  es contablemente infinito, entonces se puede escribir como una serie (utilizando una biyección entre $E$ y $\mathbb{N}$ e ignorando $\mathcal{I} \setminus E$ ).