Anillo local de Gorenstein tal que el cuadrado del ideal máximo contiene cada ideal primo mínimo

Question

Dejemos que $(R, \mathfrak m)$ sea un local conmutativo Anillo Gorenstein tal que todo ideal primo mínimo de $R$ está contenida en $\mathfrak m^2$ . Entonces, ¿es cierto que $R$ ¿es un dominio integral?

Si esto no es cierto en general, ¿qué pasa si también asumimos $R$ es reducido (no tiene ningún nilpotente no nulo) o irreducible (tiene exactamente un primo mínimo)?

Answer 1

Nada de lo que dices puede ser cierto. Toma $R=\mathbb{C}[[x,y,z]]/(x^2+y^2+z^2)^2$ . Entonces es irreducible, el único primo mínimo está generado por $x^2+y^2+z^2$ que está contenido en el cuadrado del ideal máximo y es Gorenstein.

Del mismo modo, toma $R=\mathbb{C}[[x_1,x_2,x_3, y_1,y_2, y_3]]/ (\sum x_i^2)(\sum y_i^2)$ . Es reducido y tiene todas las demás propiedades que usted desea.