¿Qué enfoque adoptar con un muelle vertical?

Question

Supongamos que tenemos un muelle colgando verticalmente con constante de muelle $k$ unido a un bloque de masa $m$ . El sistema está en reposo.

Entonces, se tira de la masa hacia abajo, extendiendo el muelle por la distancia $x$ y luego suéltalo. El muelle, por supuesto, rebotará a su lugar original. ¿Cuál es la velocidad del objeto en su lugar de reposo inicial?

Para resolverlo, he adoptado dos enfoques, pero no estoy seguro de cuál es el correcto. El primero es un enfoque de trabajo. Cuando el bloque vuelve a su antigua ubicación, es el mismo excepto que ahora tiene la nueva energía que recibió de la extensión anterior, así que puedo decir...

$W=Fd$ o $W=\frac{1}{2}*k*x^2$ .

Así que, $\frac{1}{2}*k*x^2=\frac{1}{2}*m*v^2$ por lo tanto $v=\sqrt{\frac{k}{m}}*abs(x)$ .

Sin embargo, no considero el potencial gravitacional, lo que me preocupa.

Si lo hacemos, podemos decir que en el lugar de reposo la energía es sólo $mgh$ donde $h$ es $x$ .

En el fondo, la energía es sólo $\frac{1}{2}*k*x^2$ así que...

$mgx+\frac{1}{2}m*v^2=\frac{1}{2}k*x^2$ así que $v=\sqrt{\frac{kx^2-2gmx}{m}}$

¿Qué enfoque debo adoptar?

Answer 1

Ambos enfoques son en realidad lo mismo, si los haces correctamente.

Abordaré primero su segundo caso. Es correcto utilizar la conservación de la energía y decir que la energía potencial almacenada en el muelle en el punto más bajo es igual a la suma de la energía cinética y la energía potencial debida a la gravedad en el punto de equilibrio. Así que estabas en lo cierto con la ecuación $$\frac12ky^2=mgy+\frac12mv^2$$

Veamos ahora el primer caso, pero hagámoslo correctamente. Sabemos que el trabajo neto realizado sobre la masa es igual a su cambio de energía cinética: $$W_\text{net}=W_\text{gravity}+W_\text{spring}=\Delta K=\frac12mv^2-0$$

Podemos determinar fácilmente el trabajo realizado por la gravedad y la fuerza del muelle utilizando la definición de trabajo $W=\int\mathbf F\cdot\text d\mathbf y$ $$W_\text{gravity}=\int_{-y}^0(-mg)\,\text dy'=-mgy$$ $$W_\text{spring}=\int_{-y}^0(-ky')\,\text dy'=\frac12ky^2$$ Si lo juntamos todo, tenemos $$W_\text{net}=-mgy+\frac12ky^2=\frac12mv^2$$

Puedes ver que esto es exactamente lo mismo que tu segundo caso. Así que los dos métodos que has propuesto son exactamente iguales. El problema con el primer caso de tu pregunta es tal y como has dicho. No has incluido el trabajo realizado por la gravedad.