La serie de Eisenstein y el teorema del límite de Kronecker

Question

Es bien sabido que el primer teorema del límite de Kronecker da la expansión de Laurent de la serie de Eisenstein $E(z,s)$ en $SL(2,Z)$ en $s=1$ Véase, por ejemplo, el libro de Serge Lang "Elliptic Curves", sección 20.4.

Mi pregunta es, ¿existe una fórmula análoga para la serie de Eisenstein sobre subgrupos de congruencia? Esta parece una pregunta natural y creo que debe estar escondida en algún lugar de la literatura, pero no puedo encontrar una referencia.

Se agradecerá cualquier ayuda. Gracias.

Observación: Gracias a la ayuda de Anweshi, podemos encontrar los siguientes documentos.

Para ser más precisos, los documentos mencionados anteriormente son

1. MR0318065 (47 #6614) Goldstein, Larry Joel, Dedekind sums for a Fuchsian group. I. Nagoya Math. J. 50 (1973), 21--47. 10D10 (10G05). [Este trabajo da la generalización de la fórmula del primer límite de Kronecker a las series de Eisenstein sobre un grupo fucsiano del primer tipo en cualquier cúspide].

MR0347739 (50 #241) Goldstein, Larry Joel, Errata for ``Dedekind sums for a Fuchsian group. I'' (Nagoya Math. J. 50 (1973), 21--47). Nagoya Math. J. 53 (1974), 235--237. 10D15 (10G05)

1. MR0347740 (50 #242) Goldstein, Larry Joel, Dedekind sums for a Fuchsian group. II. Nagoya Math. J. 53 (1974), 171--187. 10D15 (10G05). [Este trabajo da la generalización de la fórmula del segundo límite de Kronecker para las "series de Eisenstein generalizadas"].

Answer 1

Sí, hay una generalización. Fue realizada por Larry Joel Goldstein, en el artículo "Dedekind sums for a Fuchsian group". El artículo tiene dos partes y se publicó en el Nagoya Journal alrededor de 1973-74.