Densidad de momento a partir del tensor de energía de la tensión en la teoría de campos

Question

La pregunta es similar a la de este enlace 1 .

Consideremos un lagrangiano muy simple que sólo contiene energía cinética. Su interpretación se desprende de decir que el campo que estamos variando $\mathbf{u}$ es un campo de desplazamiento. En ese caso, tenemos la siguiente densidad de campo lagrangiana.

$$\mathcal{L} = \frac{1}{2} \rho \left( \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} \right)^2$$

Si se evalúa el momento canónico entonces es igual a:

$$\pi = \rho \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}$$

Tenemos más leyes de conservación que se desprenden del tensor tensión-energía definido de la siguiente manera.

$$T^\mu{}_\nu =\frac{ \partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \varphi_a)} \partial_\nu \varphi_a - \delta^\mu_\nu \mathcal{L}$$

Una de las ecuaciones es la conservación de la energía y las otras tres son diferentes tipos de conservación del momento. El hecho de que sean diferentes puede demostrarse calculando que, por ejemplo, para la componente $1$ del momento ( $T^{0}_1$ ) es igual a:

$$\mathbf{\Pi}_1 =T^0_1 = \rho \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} \cdot \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial x_1}$$

Preguntas :

Si consideramos cualquier libro de hidrodinámica, lo que ocurre es que la gente considera tres leyes de conservación: 1) conservación de la masa, 2) conservación de la energía (relacionada con $T^0_0$ ) y 3) la conservación del momento canónico.

¿Por qué no se consideran tres ecuaciones adicionales de conservación de la tensión-energía-momento? Parece una herramienta increíblemente poderosa tener tres ecuaciones más con las que lidiar.

La única explicación que tengo para que no se utilicen es que se puede demostrar de alguna manera que la ecuación canónica del momento y la ecuación de la energía podrían combinarse para expresar la conservación de $\mathbf{\Pi}$ . Pero no he podido encontrar ninguna referencia al respecto. Tampoco tengo claro que sea posible porque las simetrías subyacentes son diferentes (simetría de coordenadas frente a simetría de campos).

¿Es posible que la conservación de $\mathbf{\Pi}$ ¿es en cierto modo redundante teniendo en cuenta otras ecuaciones?

Answer 1

Las leyes de conservación de la tensión-enegía son simplemente las ecuaciones hidrodinámicas habituales.

Por ejemplo, partiendo de la densidad lagrangiana habitual para un fluido barotrópico $${\mathcal L} = \rho \dot \phi +\rho \frac 12 (\nabla \phi)^2 +u(\rho)$$ podemos calcular el tensor de energía y momento canónico $${T^\mu}_\nu = \frac{\partial {\mathcal L}}{\partial \phi_\mu}\phi_\nu -\delta^\mu_\nu {\mathcal L}.$$

En los componentes tenemos $${T^0}_0 = \rho\,\partial_t \phi - {\mathcal L}, \\ {T^0}_i = \rho \,\partial_i \phi ,\\ {T^i}_0 = \rho \,\partial_i \phi \partial_t\phi,\\ {T^i}_j = \rho \,\partial_i\phi\partial_j\phi - \delta^i_j {\mathcal L},$$

Utilizando la interpretación física de las variables de la acción como ${\bf v}=\nabla \phi$ y $${\mathcal L}=-P = \rho\dot \phi +{\mathcal E}$$ donde $P$ es la presión y ${\mathcal E}$ la densidad de energía total (cinética más interna) podemos expresar los componentes en en términos de cantidades físicas:
$${T^0}_0 = -{\mathcal E}, \\ {T^0}_i = \rho v_i,\\ {T^i}_0 = -v_i(P+{\mathcal E}),\\ {T^i}_j = \rho v_i v_j + \delta_{ij}P.$$ Nótese que el tensor energía-momento no es simétrico. Sin embargo, la densidad de momento es igual al flujo de masa.

La ecuación de conservación $$\partial_0 {T^0}_0 +\partial_j {T^j}_0=0$$ se convierte en (menos) $$\partial_t {\mathcal E}+ \partial_j\{v_j({\mathcal E}+P)\}=0.$$ Esto afirma que una disminución de la energía en una región surge de dos mecanismos: i) el flujo convectivo de energía $\int {\mathcal E} {\bf v}\cdot {\bf n} \,d|S|$ y ii) el ritmo de trabajo, $\int P\,{\bf v}\cdot {\bf n} \,d|S|$ por las fuerzas ejercidas sobre el fluido vecino. Aquí ${\bf n}$ es la normal exterior al elemento de la superficie $d|S|$ de la región.

Las tres ecuaciones de conservación restantes $$\partial_0 {T^0}_i +\partial_j {T^j}_i=0,\quad i=1,2,3$$ se convierten en la ley de conservación del momento $$\partial_t \rho v_i +\partial_j (\rho v_iv_j +\delta_{ij} P)=0.$$ Aquí el cambio en la densidad de momento se debe a la $\rho v_iv_j$ corriente de advección de momento junto con el flujo de momento debido a que un trozo de fluido empuja al otro a través de la fuerza $-\nabla P$ . Esta ley de conservación es una simple combinación de la ecuación de Euler con la ecuación de conservación de la masa. La conservación de la masa se deriva de la simetría $\phi\to \phi+\rm const.$ y no por la invariancia de traslación espacio-temporal.

Answer 2

Su conservación canónica del momento es la que no suele considerarse en hidrodinámica. Corresponde a la simetría bajo desplazamientos de $\mathbf{u}$ . Si tuvieras un "término de masa" proporcional a $\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}$ (o realmente cualquier cosa que dependa de $\mathbf{u}$ y no sus derivadas) entonces ya no es una simetría.

En cualquier caso, para tu lagrangiano, la conservación del momento canónico es equivalente a las ecuaciones de campo, que son equivalentes a la conservación del tensor energía-momento (el último punto que mike stone muestra en su respuesta).