La prueba de esto tiene dos pasos.
Paso 1: Denote el mapa $M \to S^{n+k}$ por $f$ . Denotemos la inclusión $S^{n+k} \to D^{n+k+1}$ por $i$ . Entonces el mapa $i \circ f : M \to D^{n+k+1}$ se extiende a una función suave $g : W \to D^{n+k+1}$ . Se puede definir esta extensión de varias maneras. Una extensión natural sería tomar una vecindad de cuello de $M$ en $W$ , $\epsilon : M \times [0,1] \to W$ y luego definir $g$ dentro del barrio del cuello por $g(\epsilon(m,t)) = t^2m$ y fuera de la vecindad del cuello, definir $g$ para ser el vector cero. Técnicamente, tendrá que reemplazar ese $t^2$ por algunos $C^\infty$ homeomorfismo creciente $[0,1]\to[0,1]$ tal que su derivada en el cero es cero. Con $t^2$ todo lo que obtienes es un $C^1$ incrustación. Si en su lugar se utiliza $t^3$ usted tiene un $C^2$ incrustación. Así que supongo que la función que necesitas es $e^{1-\frac{1}{t^2}}$ con la definición de cero a cero. Necesito que mi vecindad de cuello sea de la forma $\epsilon(M \times \{1\}) = M = \partial W$ .
Paso 2: La teoría de la aproximación suave dice que se puede aproximar $g$ por una incrustación (y como el mapa ya es nítido en la frontera, será una aproximación nítida). La teoría de la aproximación sólo funciona si el espacio ambiente tiene una dimensión estrictamente mayor que el doble de la dimensión del dominio, así que necesitarás $2(n+1)+1 \leq n+k+1$ , o lo que es lo mismo $2n+3 \leq n+k+1$ o $n+2 \leq k$ .
Y esta es la declaración de Hirsch.
