ii) Demuestre que $u$ no es una parte real de la función que analítica en $\mathbb{C} \backslash \lbrace 0 \rbrace$

Question

Supongamos que $u(x,y)=\ln(x^2+y^2)$

i) Demuestre que $u$ es armónico en $\mathbb{C} \backslash \lbrace 0 \rbrace$

ii) Demuestre que $u$ no es la parte real de una función analítica en $\mathbb{C} \backslash \lbrace 0 \rbrace$

Consigo mostrar la primera parte. En cuanto a la segunda parte, observe que $u(x,y)=\ln(x^2+y^2)=\ln(|z|^2)=2 \Re \log(z)$

Pero esto sólo demuestra que $u$ no es una parte real de $\log(z)$ . No sé cómo mostrar $u$ no puede ser la parte real de una función que sea analítica en $\mathbb{C} \backslash \lbrace 0 \rbrace$

¿Alguien puede orientarme?

Answer 1

$z=0$ es un punto de bifurcación del logaritmo complejo, por lo que no puede definirse de forma continua (por tanto, no analítica) en $\Bbb C\setminus\{0\}.$ Como la parte real de una función analítica determina la parte imaginaria hasta la constante imaginaria, hemos terminado.

Answer 2

Si $u$ fueran la parte real de una función holomofica $f$ en $D = \Bbb C\setminus\{0\} $ entonces $$ f'(z) = u_x(z) - i u_y(z) = \frac{2x - 2iy}{x^2+y^2} = \frac{2}{z} $$ en $D$ y la integración a lo largo de un círculo $\gamma$ que rodea a $z=0$ da una contradicción: $$ 0 = \int_\gamma f'(z) \, dz = \int_\gamma \frac{2}{z} \, dz = 4 \pi i \, . $$

(La idea de la prueba es utilizar esa $\frac 1z$ no tiene antiderivada en $\Bbb C\setminus\{0\} $ sin trabajar explícitamente con las "ramas holomorfas del logaritmo").