Cubos de Fibonacci: $F_n^3 + F_{n+1}^3 - F_{n-1}^3 =F_{3n}$

Question

Prueba

$$F_n^3 + F_{n+1}^3 - F_{n-1}^3 =F_{3n}$$

He probado con la inducción, o bien es muy larga o se necesita un truco muy limpio en el paso de la inducción, pero por alguna razón impar no funciona. Idealmente me gustaría cualquier sugerencia para la prueba inductiva.

Answer 1

Al ampliar $(\frac {\phi^n - \psi^n}{\phi- \psi})^3$ se obtiene que $F_n^3$ es una combinación lineal de $\phi^{3n}, (\psi \phi^2)^n, (\psi^2 \phi)^n, \psi^{3n}$ y también todo el LHS. En particular, el LHS satisface una relación de recurrencia lineal de orden $4$ .

El lado derecho es una combinación lineal de $\phi^{3n}$ y $\psi^{3n}$ por lo que satisface la misma relación de recurrencia lineal.

Por lo tanto, basta con comprobar que la igualdad es verdadera para la primera $4$ términos.

Si lo desea, puede calcular la relación de recurrencia lineal exacta calculando el polinomio $(X-\phi^3)(X-\psi\phi^2)(X-\psi^2\phi)(X-\psi^3)$ aunque no es necesario.

Answer 2

Utilice la identidad algebraica $$(a-b)^3+a^3-b^3=(a-b)\left(2(a-b)^2+3ab\right)$$ y utilizar la relación de la secuencia de Fibonacci $F_{n+1}=F_n+F_{n-1}$ para conseguir $$F_n^3+F_{n+1}^3-F_{n-1}^3=F _n\left(2F_n^2+3F_{n+1}F_{n-1}\right)$$ Ahora, por la fórmula de Binet $$F_n=\frac{\alpha^n-\beta^n}{\alpha-\beta}$$ donde $\alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ , $\beta=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ . Entonces, tenemos, \begin{equation} \begin{split} F_{n+1}F_{n-1}= & \frac{(\alpha^{n+1}-\beta^{n+1})(\alpha^{n-1}-\beta^{n-1})}{(\alpha-\beta)^2}\\ \ =& \frac{\alpha^{2n}+\beta^{2n}-\alpha^{n-1}\beta^{n-1}(\alpha^2+\beta^2)}{5}\ \mbox{(Since }\alpha-\beta=\sqrt{5})\\ \ =& \frac{\alpha^{2n}+\beta^{2n}+3\alpha^{n}\beta^{n}}{5}\ \mbox{(Since }\alpha\beta=-1,\ \alpha^2+\beta^2=3)\\ \end{split} \end{equation} Por lo tanto, \begin{equation} \begin{split} F_n^3+F_{n+1}^3-F_{n-1}^3=& F _n\left(2F_n^2+3F_{n+1}F_{n-1}\right)\\ \ =& \frac{\alpha^n-\beta^n}{\alpha-\beta}\frac{\left(2(\alpha^{2n}+\beta^{2n}-2\alpha^n\beta^n)+3(\alpha^{2n}+\beta^{2n}+3\alpha^n\beta^n)\right)}{5}\\ \ =&5\frac{(\alpha^n-\beta^n)(\alpha^{2n}+\beta^{2n}+\alpha^n\beta^n)}{5(\alpha-\beta)}\\ \ =&\frac{\alpha^{3n}-\beta^{3n}}{\alpha-\beta}\\ \ =& F_{3n}\hspace{6cm} \Box \end{split} \end{equation}

Answer 3

Tal vez podrías empezar por mostrar que $$F_{a+b}=F_aF_{b+1}+F_{a-1}F_b. \tag{1}$$ Se le llama a veces identidad de convolución. Una posible derivación de esta identidad se da en Wikipedia . (Añadiré también un enlace a la reciente revisión del artículo de Wikipedia, por si acaso cambia en el futuro).
Véase también esta entrada: Demostrar que una ecuación se cumple con una secuencia de Fibonacci: $F_{n+m} = F_{n-1}F_m + F_n F_{m+1}$
En este post se muestra una identidad muy similar: Prueba de identidad $F_m F_n + F_{m1} F_{n1} = F_{m+n1}$ para los números de Fibonacci

Utilizando (1) para $a=b=n$ se obtiene $$F_{2n}=F_n(F_{n+1}+F_{n-1})$$ Utilizando (1) para $a=n+1$ y $b=n$ se obtiene $$F_{2n+1}=F_{n+1}^2+F_n^2.$$

Ahora bien, si utilizamos (1) para $a=n$ y $b=2n$ obtenemos \begin{align} F_{3n}&=F_nF_{2n+1}+F_{n-1}F_{2n}=\\ &=F_n(F_{n+1}^2+F_n^2)+F_{n-1}F_n(F_{n+1}+F_{n-1})=\\ &=F_n^3+F_nF_{n+1}^2+F_{n-1}(F_{n+1}-F_{n-1})(F_{n+1}+F_{n-1})=\\ &=F_n^3+F_nF_{n+1}^2+F_{n-1}(F_{n+1}^2-F_{n-1}^2)=\\ &=F_n^3+F_nF_{n+1}^2+F_{n-1}F_{n+1}^2-F_{n-1}^3=\\ &=F_n^3+(F_n+F_{n-1})F_{n+1}^2-F_{n-1}^3=\\ &=F_n^3+F_{n+1}^3-F_{n-1}^3 \end{align}

Answer 4

Aquí verás más o menos mi proceso de pensamiento; espero que te sirva de ayuda.

Primero hay que definir la secuencia de Fibonacci como $F_1 = 1, F_2 = 1, F_{n+1} = F_{n} + F_{n-1}$ para que esto se mantenga. Si de alguna manera quieres utilizar la inducción, tienes que escribir $F_{n+1}$ con la relación de recurrencia, por lo que $S = F_{n}^3 - F_{n-1}^3 + (F_{n}+F_{n-1})^3 = F_{n}^3 - F_{n-1}^3 + 3F_n^2 F_{n-1} + 3F_n F_{n-1}^2 + F_{n}^3 + F_{n-1}^3.$

Escribir $-F_{n-2} = F_{n-1} - F_{n}$ da $-F_{n-2}^3 = F_{n-1}^3 - F_{n}^3 + 3F_{n}^2F_{n-1} - 3F_n F_{n-1}^2$ y así, $S = F_n^3 + F_{n-1}^3 - F_{n-2}^3 + 2(F_n^3 - F_{n-1}^3 + 3F_n F_{n-1}^2) = F_{3n-3}+2(F_n^3 - F_{n-1}^3 + 3F_n F_{n-1}^2).$

Para que quede claro lo que necesitamos exactamente, si $S = F_{3n},$ entonces $S = F_{3n-1} + F_{3n-2} = 2F_{3n-2} + F_{3n-3},$ así que de hecho queremos demostrar que $F_{n}^3 + 3F_{n}F_{n-1}^2 - F_{n-1}^3 = F_{3n-2}.$ Volviendo a nuestra primera ecuación para $S,$ esto significa que también necesitamos $F_{n}^3 + 3F_{n}^2F_{n-1} + F_{n-1}^3 = F_{3n-1}.$

Reclamación: $F_{n}^3 + 3F_{n}F_{n-1}^2 - F_{n-1}^3 = F_{3n-2}$ y $F_{n}^3 + 3F_{n}^2F_{n-1} + F_{n-1}^3 = F_{3n-1}.$

Prueba: Los casos base son fáciles de comprobar. Procedemos por doble inducción. Es decir, supongamos que la afirmación se cumple para algún $n.$ Entonces para $n+1,$ tenemos $\begin{align*} F_{n+1}^3 + 3F_{n+1}F_{n}^2 - F_{n}^3& = (F_n + F_{n-1})^3 + 3F_n^3 + 3F_n^2 F_{n-1} - F_n^3 \\&= \underbrace{F_{n}^3 + 3F_{n}^2 F_{n-1}} + 3F_{n}F_{n-1}^2 + \underbrace{F_{n-1}^3} + 2F_{n}^3 + 3F_{n}^2F_{n-1} \\&= F_{3n-1} + 2F_{n}^3 + 3F_{n}^2F_{n-1} + 3F_{n}F^2_{n-1}\\ &= F_{3n-1} + (F_n^3 + 3F_{n}^2F_{n-1} + F_{n-1}^3) + (F_{n}^3+3F_{n}F_{n-1}^2 - F_{n-1}^3)\\ &=F_{3n-1} + F_{3n-1} + F_{3n-2} = F_{3n-1} + F_{3n} = F_{3n+1} = F_{3(n+1) - 2}. \end{align*}$

Del mismo modo, se demuestra que $F_{n+1}^3 + 3F_{n+1}^2 F_n + F_{n}^3 = F_{3(n+1) - 1},$ de donde hemos salido.

tl;dr: Abusa de la relación de recurrencia de Fibonacci y de las hipótesis inductivas.