Prueba que si y g son continuos en $[a,b]$ y $\int_a^b f =\int_a^bg $ entonces $\exists \, c \in [a,b] : f(c) = g(c)$ .

Question

Si f y g son continuas en $[a,b]$ y $\int_a^b f =\int_a^bg $ entonces $\exists \, c \in [a,b] : f(c) = g(c)$ .

Me cuesta demostrar esto formalmente (aunque es bastante intuitivo). He visto otras pruebas en este foro pero todas tienen la condición inicial de que $f(a)>g(a)$ y $f(b)<g(b)$ .

Answer 1

$F(x)=\int_a^x(f-g)(t)dt$ , $F(a)=F(b)=0$ aplicar el rollo.

Answer 2

Un posible argumento sin utilizar el teorema de Rolle es este:

Supongamos que para todos $x\in[a,b]$ , $h(x)=f(x)-g(x)\neq 0$ . Por continuidad, debemos tener $h>0$ o $h<0$ en $[a,b]$ . (de lo contrario, por el valor intermedio theoerem concluimos que hay algún $x$ , s.t. $h(x)=0$ lo que contradice nuestra suposición sobre $h$ ).

Supongamos, por ejemplo, que $h>0$ en $[a,b]$ . Entonces deducimos $\int_a^b h(x)dx>0$ . Esto implica $\int_a^b f(x)dx\neq\int_a^b g(x)dx$ , lo cual es una contradicción.

Answer 3

Puede aplicar el primer teorema del valor medio para la integral a la función $h=f-g$ .

$h$ es continua en $[a,b]$ según el teorema existe $c \in (a,b)$ tal que:

$(b-a)h(c) = \int_a^b{h} = \int_a^b{f}-\int_a^b{g} = 0$

Esto implica que $\exists c \in [a, b] : \quad h(c) = f(c)-g(c) = 0$