Álgebra superior de Hall & Knight: Capítulo 1, Art 16, Ejemplo 3

Question

Este es un ejemplo resuelto de Álgebra Superior de Hall y Knight. Faltan algunos pasos por lo que no puedo entender la continuidad de la solución.

Capítulo 1, Ratio, Art 16, Ejemplo 3

Resolver las ecuaciones $$ax + by + cz = 0, \tag{1}\label{eq1}$$

$$x + y + z = 0, \tag{2}\label{eq2}$$

$$bcx +cay + abz = (b-c) (c-a) (a-b), \tag{3}\label{eq3}$$

A partir de (1) y (2) por multiplicación cruzada,

$$\frac{x}{b-c} = \frac{y}{c-a} = \frac{z}{a-b} = k,\ \text {suppose;}$$

$$\therefore x = k(b-c), y = k(c-a), z = k(a-b)$$ .

Sustituyendo en (3),

$$k \ [bc(b-c) + ca(c-a) + ab(a-b)] = (b-c)(c-a)(a-b), \tag{4}\label{eq4}$$

[Nota de la OP: He entendido hasta aquí, y no puedo entender cómo los autores derivaron la ecuación dada en la siguiente línea].

$$k \ [-(b-c)(c-a)(a-b)] = (b-c)(c-a)(a-b), \tag{5}\label{eq5}$$

$$\therefore \ k=-1$$

de donde: $$x=c-b,\ y=a-c,\ z=b-a$$

¿Cómo es $(4)$ reducido a $(5)$ ?

Answer 1

Una pista: Prueba al revés: amplía los paréntesis en (5).

Answer 2

Esta es una forma de ver cómo surge la identidad.

Si traducimos $a,b,c$ por $x$ la expresión (sin $k$ ) en el lado izquierdo de $(4)$ se convierte en $$ p(x)=(x+b)(x+c)(b-c)+(x+c)(x+a)(c-a)+(x+a)(x+b)(a-b). $$ Sin embargo, $p$ es un polinomio constante, porque el coeficiente de $x$ es $(b+c)(b-c)+(c+a)(c-a)+(a+b)(a-b)=0$ y el coeficiente de $x^2$ es $(b-c)+(c-a)+(a-b)=0$ . Por lo tanto, $p(0)=p(-a)$ es decir $$ bc(b-c)+ca(c-a)+ab(a-b)=-(a-b)(c-a)(b-c). $$