Construcción de exponencial para un operador no limitado.

Question

Estoy descifrando la forma en que se puede determinar $exp(iA)$ para un operador no limitado $A$ . Más concretamente me gustaría saber, cómo podría tratar el operador de impulso $p_x = -i\hbar\partial_x$ .

Estoy tratando de seguir la instrucción que aprendí de las conferencias de Frederic Schullers ( https://www.youtube.com/watch?v=GbqA9Xn_iM0 conferencias 10 y 11)

La instrucción es la siguiente:

1) Construir la medida positiva de valor real $\mu_{\psi}$ utilizando Fórmula de inversión de Stieltjes :

$\mu_{\psi}((-\infty,\ \lambda]) = \lim_{\delta\to 0^{+}}\lim_{\epsilon\to 0^{+}}\frac{1}{\pi} \int\limits_{-\infty}^{\lambda+\delta}dt \ Im<\psi, R_p(t + i\epsilon)\psi>$ , donde $R_p(z)$ es un operador resolutorio.

2)Construir una medida de valor complejo $\mu_{\psi, \phi}$ por la fórmula de la polarización:

$\mu_{\psi, \phi}(\Omega) = \frac{1}{4} [\mu_{\psi+\phi}(\Omega) - \mu_{\psi-\phi}(\Omega)+i\mu_{\psi-i\phi}(\Omega)-i\mu_{\psi+i\phi}(\Omega)], \Omega$ es un conjunto de Borel en $\mathbb{R}$

3) Construir una medida con valor de proyección $P$ como lo siguiente:

$<\psi, P(\Omega)\phi> := \int \chi_\Omega d\mu_{\psi, \phi}$

4) Calcula la integral:

$exp(i\hbar\partial_x) := \int_{\mathbb{R}} e^{i\lambda}\ P(d\lambda)$

Mis logros son realmente pobre. En realidad, acabo de calcular el resolvente para el operador de momento: $R_p(z) = \frac{i}{\hbar} \int\limits_{0}^{\infty}dt\ e^{izt\hbar^{-1}}u(t)$ , donde $u(t)\psi(x) = \psi(x-t)$ . Pero tuve problemas incluso en el primer paso al calcular la integral de Stieltjes. He logrado tal cosa para calcular:

$\frac{i}{h}\int\limits_{0}^{\infty}da\ e^{iza\hbar^{-1}}\ \int_{\mathbb{R}} dx\ \psi^{*}(x)u(a)\psi(x)$ y no sé cómo lidiar con ello.

¿Quizás alguien haya probado este camino y pueda darme algunos consejos? Sin embargo, apuesto a que no es el camino más corto para construir rigurosamente el exponencial de un operador no limitado. ¿Existen otras ideas para definir exp? Si es así, ¿cuál es el objetivo principal del teorema espectral y de todas las ecuaciones que he mencionado antes? Parece que no es constructivo en este caso.

Answer 1

La resolución espectral de $A=-i\partial_x$ viene dada por $$E(S)f = \frac{1}{2\pi}\int_{S}e^{is x}\left(\int_{-\infty}^{\infty}f(w)e^{-isw}dw\right)ds.$$ Esto se puede determinar con el formulario de inversión de Stieltjes. Como simple comprobación, observe que $E(\mathbb{R})=(\hat{f})^{\vee}=f$ . Es decir $E(\mathbb{R})=I$ como se esperaba. Puede realizar un cambio de variable en $s$ para obtener una versión modificada que se adapte a su versión a escala de $A$ . El espectro es continuo, lo que descarta discontinuidades en la medida espectral, lo que es coherente con la forma anterior.

Para el caso que nos ocupa (no su caso a escala,) el exponencial $e^{iAt}f$ es $$e^{itA}f = \int_{\mathbb{R}}e^{its}d_sE(-\infty,s]f= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{ist}e^{isx}\left(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-isw}dw\right)ds \\ \implies (e^{itA}f)(x) = f(x+t).$$