Podría alguien ayudarme a resolver el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales parciales: $$\frac{\partial u_1(x_1,x_2)}{\partial x_1}=u_1(x_1,x_2)-u_2(x_1,x_2)$$ $$\frac{\partial u_2(x_1,x_2)}{\partial x_2}=u_2(x_1,x_2)-u_1(x_1,x_2)$$
$$u_1(0,x_2)=1$$ $$u_2(x_1,0)=0$$
Mi intento:
Aplicando la transformada de Laplace en el sistema PDE, tenemos
$$\int_0^\infty \frac{\partial u_1(x_1,x_2)}{\partial x_1}e^{-s_1x_1}dx_1=\int_0^\infty u_1(x_1,x_2)e^{-s_1x_1}dx_1-\int_0^\infty u_2(x_1,x_2)e^{-s_1x_1}dx_1$$
$$\int_0^\infty \frac{\partial u_2(x_1,x_2)}{\partial x_2}e^{-s_2x_2}dx_2=\int_0^\infty u_2(x_1,x_2)e^{-s_2x_2}dx_2-\int_0^\infty u_1(x_1,x_2)e^{-s_2x_2}dx_2$$
lo que resulta en
$$s_1 \overline u_1(s_1,x_2)-u_1(0,x_2)=\overline u_1(s_1,x_2)-\overline u_2(s_1,x_2)$$ $$s_2 \overline u_2(x_1,s_2)-u_2(x_1,0)=\overline u_2(x_1,s_2)-\overline u_1(x_1,s_2)$$
donde $s_1$ y $s_2$ denota la variable de Laplace con respecto a $x_1$ y $x_2$ respectivamente. La barra superior corresponde a las variables $u_1$ y $u_2$ en el dominio de Laplace. Sin embargo, ahora tengo cuatro incógnitas ( $\overline u_1(s_1,x_2)$ , $\overline u_1(x_1,s_2)$ , $\overline u_2(s_1,x_2)$ y $\overline u_2(x_1,s_2)$ ) y sólo dos ecuaciones.
