$y'' + 4y = \sin^3(2x)$ Continuación de la pregunta

Question

Tengo que encontrar la solución para $y'' + 4y = \sin^3 (2x)$ .

Podemos utilizar una identidad para transformar nuestra ecuación en: $y'' + 4y = (3/4)\sin(2x) - (1/4) \sin(6x)$ . Nuestra conjetura para la solución particular sería entonces: $y_p = A\sin(2x) + B\sin(6x)$ .

Sin embargo, tengo problemas para resolver A y B.

$y_p = A\sin(2x) + B\sin(6x)4$

$y^{(1)}_p = 2A\cos(2x) + 6B\cos(6x)$

$y^{(2)}_p = -4(A\sin(2x) + 9B\sin(6x))$

Así que volvemos a introducirlos en nuestra ecuación diferencial no homogénea, $y'' + 4y = sin^3(2x)$ y obtenemos:

$-4(A\sin(2x) + 9B\sin(6x)) + 4(A\sin(2x) + B\sin(6x)) = (3/4)\sin(2x) - (1/4)\sin(6x)$

Simplificando encontraremos que los senos con el coeficiente A se cancelan. ¿Cómo encontramos entonces cuál es A si siempre se anulan? Esto es una continuación de: Problemas de coeficientes indeterminados

¿Es correcta mi suposición de solución particular?

Answer 1

Así que hay dos cuestiones aquí.

La primera es que, cuando el lado derecho tiene una función trigonométrica, en general se necesita un coeficiente indeterminado para el seno Y el coseno. Así que su conjetura sería:

$$A_1sin(2x) + A_2cos(2x) + B_1sin(6x) + B_2cos(6x)$$

Pero esto también es erróneo, porque hay un truco en la regla de los coeficientes indeterminados en el que hay que añadir 'x' a las funciones que 'coinciden' con las soluciones de la ecuación homogénea:

$$y'' + 4y = 0$$

Esto tiene soluciones $Csin(2x) + Dcos(2x)$ por lo que en su conjetura de coeficientes indeterminados debe añadir un factor de $x$ a los términos que implican $sin(2x)$ , $cos(2x)$ . La suposición correcta es:

$$A_1xsin(2x) + A_2xcos(2x) + B_1sin(6x) + B_2cos(6x)$$

La razón de esta regla es exactamente lo que usted ha notado: Si no incluye el extra $x$ entonces los términos se anulan y no puedes hacer que funcione.

Answer 2

Pregunta antigua, pero la Comunidad exige una respuesta mejor, así que aquí va. Tenemos la ecuación $$y^{\prime\prime}+4y=f(x)\tag{1}\label{a}$$ Podemos utilizar la simetría para reducir nuestras opciones de funciones candidatas. Sea $x=-u$ . Entonces $u=-x$ y $$\begin{align}y^{\prime\prime}(x)&=\frac d{dx}\left[\frac d{dx}y(-u)\right]=\frac d{dx}\left[\frac d{du}y(-u)\frac{du}{dx}\right]\\ &=\frac d{dx}\left[-\frac d{du}y(-u)\right]=\frac d{du}\left[\frac d{du}y(-u)\right]=\frac{d^2}{du^2}y(-u)\end{align}$$ Así que $$\frac{d^2}{du^2}y(-u)+y(-u)=f(-u)=-f(u)$$ Reetiquetado de la variable, $$\frac{d^2}{dx^2}y(-x)+y(-x)=-f(x)\tag{2}\label{b}$$ Añadir eqs $(\ref{a})$ y $(\ref{b})$ y dividiendo por $2$ , $$\frac{d^2}{dx^2}\frac{y(x)+y(-x)}2+4\frac{y(x)+y(-x)}2=y_e^{\prime\prime}+4y_e=0$$ Dónde $y_e(x)=\left(y(x)+y(-x)\right)/2$ es una función par de $x$ . Del mismo modo, restando eq $(\ref{b})$ de eq $(\ref{a})$ y dividiendo por $2$ , $$\frac{d^2}{dx^2}\frac{y(x)-y(-x)}2+4\frac{y(x)-y(-x)}2=y_o^{\prime\prime}+4y_o=f(x)$$ Dónde $y_o(x)=\left(y(x)-y(-x)\right)/2$ es una función impar de $x$ y podemos escribir $y(x)=y_e(x)+y_o(x)$ como una combinación lineal de un impar y una función par de $x$ . La paridad definida del operador diferencial y de la función motriz hace que aquí sólo tengamos que considerar funciones Impares de $x$ en nuestra solución particular.

También no estaba escrito en las respuestas cómo simplificar $\sin^3(2x)$ : $$\begin{align}\sin(n+1)x&=\sin nx\cos x+\cos nx\sin x\\ \sin(n-1)x&=\sin nx\cos x-\cos nx\sin x\\\hline \sin(n+1)x+\sin(n-1)x&=2\sin nx\cos x\end{align}$$ Así que tenemos la identidad $\sin(n+1)x=2\sin nx=\cos x-\sin(n-1)x$ . Entonces $$\begin{align}\sin2x&=2\sin1x\cos1x-\sin0x=2\sin x\cos x\\ \sin3x&=2(2\sin x\cos x)\cos x-\sin x=3\sin x-4\sin^3x\end{align}$$ Así que ahora $$\sin^32x=\frac34\sin2x-\frac14\sin6x$$ Ahora queremos resolver $$y_{p1}^{\prime\prime}+4y_{p1}=\frac34\sin2x$$ Pero como la ecuación característica de la ecuación diferencial $(\ref{a})$ es $r^2+4=0$ tiene la raíz $r=2i$ lo que implica la solución de la ecuación homogénea $y_h^{\prime\prime}+4y_h=0$ es $y_h=c_1\cos2x+c_2\sin2x$ necesitamos multiplicar la solución homogénea por un polinomio de grado igual a la suma del polinomio que multiplica $\sin2x$ en la función de conducción $[=0]$ y el orden de la raíz $r$ de la ecuación característica $[=1]$ por lo que es un polinomio de primer grado en $x$ . Así que eso implicaría que $$y_{p1}(x)=Ax\cos2x+Bx\sin2x+C\cos x+D\sin x$$ Pero $C$ y $D$ no hacen nada porque son los coeficientes de los términos que son soluciones de la ecuación homogénea y sabemos que $B=0$ porque nuestro análisis anterior mostró que necesitamos una función impar de $x$ . Así, $$\begin{align}y_{p1}(x)&=Ax\cos2x\\ y_{p1}^{\prime}(x)&=A\cos2x-2Ax\sin2x\\ y_{p1}^{\prime\prime}(x)&=-4A\sin2x-4Ax\cos2x\\\hline y_{p1}^{\prime\prime}+4y_{p1}&=-4A\sin2x=\frac34\sin2x\end{align}$$ Así que $A=-\frac3{16}$ . Entonces resolvemos $$y_{p2}^{\prime\prime}+4y_{p2}=-\frac14\sin6x$$ Esta vez la suposición ingenua sería $y_{p2}=E\cos6x+F\sin6x$ pero de nuevo necesitamos una función impar de $x$ Así que $E=0$ y $y_{p2}^{\prime\prime}+4y_{p2}=-35F\sin6x=-(1/4)\sin6x$ así que $F=1/140$ y la solución general es $$y(x)=y_h(x)+y_{p1}(x)+y_{p2}(x)=c_1\cos2x+c_2\sin2x-\frac3{16}x\cos2x+\frac1{140}\sin6x$$ Obsérvese cómo el uso de la simetría del problema y la descomposición de la función motriz en componentes manejables han hecho que la tarea de encontrar los coeficientes indeterminados sea mucho más apetecible.