Esto es más un comentario que una respuesta. También hay detalles que utilizan maquinaria con la que me siento incómodo. Los enumeraré más adelante, ¿quizás algún experto pueda comentar?
Vamos a intentar responder a la pregunta análoga en el caso de la cohomología etale $H^\bullet(X,\overline{ \mathbb Q_l})$ , donde $X_0$ es una variedad sobre $\mathbb F_q$ y $X$ su cambio de base al cierre algebraico. Utilizando los resultados de la comparación, tal vez se pueda deducir el caso de Hodge, pero dudo que haya un resultado lo suficientemente fuerte en la literatura. O tal vez se pueda proceder de forma similar utilizando módulos de Hodge mixtos, tampoco estoy seguro.
En primer lugar, podemos calcular $H^\bullet(X,\overline{ \mathbb Q_l})$ como la cohomología del empuje hacia adelante $f_* \mathbb Q_l$ de la gavilla constante en $X$ .
Ahora bien, es cierto que la categoría derivada $D^b(pt_0,\overline{ \mathbb Q_l})$ no es más que la categoría derivada de la dimensión finita $\overline{ \mathbb Q_l}$ espacios vectoriales dotados de un automorfismo (cuasi-unipotente). En otras palabras, es (un bloque de) la categoría de espacios vectoriales de dimensión finita $ \overline{ \mathbb Q_l}[x,x^{-1}]$ módulos.
Esta última categoría tiene dimensión cohomológica uno, ya que $\overline{ \mathbb Q_l}[x,x^{-1}]$ es un dominio ideal principal. En particular, cualquier complejo es formal.
Esto significa que encontramos un cuasi-isomorfismo de complejos, $H^\bullet(X,\overline{ \mathbb Q_l}) \cong f_* \overline{ \mathbb Q_l}$ que es compatible con la acción de Frobenius.
Ahora transfiriendo el $A_\infty$ -a lo largo de dicho cuasi-isomorfismo, se obtiene $m_n$ que son compatibles con la acción de Frobenius. En particular, tienen el efecto esperado en los pesos, es decir, ¡sólo hay que sumarlos todos!
Por cierto, observe que esto es diferente al efecto de $m_n$ ¡en el grado cohomológico (sumar, sumar 2-n)! Así que si $H^\bullet(X,\overline{ \mathbb Q_l})$ es puro (por ejemplo $X$ ¡suave, adecuado) , debe ser formal!
Bien, aquí están los detalles sospechosos de los que no estoy seguro:
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En primer lugar, necesitamos una estructura dg-álgebra en $f_* \overline{ \mathbb Q_l}$ . Para ello se necesita una mejora dg de los seis funtores habituales o una versión de la categoría infinita.
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Queremos transferir la estructura dg a lo largo de $H^\bullet(X,\overline{ \mathbb Q_l}) \cong f_* \overline{ \mathbb Q_l}$ . Sólo sé cómo transferir una estructura dga a lo largo de una retracción de homotopía, nunca aprendí cómo se hace con un cuasi-isomorfismo arbitrario o bajo qué condiciones es posible.
