Definición de la multiplicación en anillos

Question

Digamos que tengo un anillo $R=(\mathbb{R}, +, *)$ . Es

$a+a=2*a$

( $a \in \mathbb{R}$ )

siempre ¿es cierto para cualquier anillo¹? (De modo que cuando esta ecuación no es verdadera entonces puedo inferir definitivamente que $R$ no es un anillo).

1 ) Con "cualquier" me refiero a cualquier otro anillo que también esté utilizando $\mathbb{R}$ como conjunto subyacente, gracias por tu comentario nick.

Answer 1

Si su anillo tiene una unidad, es decir, una identidad multiplicativa, (y la definición que casi todo el mundo utiliza hoy en día requiere que un anillo tenga una identidad ), entonces sí.

Como señalan los comentaristas, $2$ se define* como $1 +1$ , donde $1$ es la identidad multiplicativa, por lo que se deduce de la ley distributiva y del hecho de que $1$ es la identidad multiplicativa.

Lo único que hay que tener en cuenta es que es posible que $ 2 = 0$ (por ejemplo, en $\mathbb Z_2$ ), o quizás $2 = -1$ (por ejemplo, en $\mathbb Z_3$ ), por lo que estos "enteros" dentro de tu anillo podrían no comportarse como esperas que se comporten los enteros.

Por cierto, si se trata de una estructura algebraica que no lo hace tener un $1$ La gente suele definir una "acción" de $\mathbb Z$ en sus elementos, y utilizar la multiplicación para denotarlo, donde

$$ n \cdot a = a + a + .... + a \text{ (n times)}$$

Edición: Vale, has añadido "Con 'cualquier' me refiero a cualquier otro anillo que también esté utilizando $\mathbb{R}$ como conjunto subyacente", y esto debe ser abordado: Se puede tomar el conjunto subyacente $\mathbb R$ y definir una nueva y alocada suma y multiplicación en él. La más sencilla es $a \oplus b = a + b -1$ y $a \otimes b = ab - a -b + 2$ .

Utilicemos el símbolo $S$ para denotar este nuevo anillo $\langle \mathbb R, \oplus, \otimes\rangle$ . Entonces el número 1 en $\mathbb R$ (que voy a escribir como $1_{\mathbb R}$ ) no es la identidad multiplicativa del anillo $S$ . $1_S$ que es la notación estándar para la identidad multiplicativa en un anillo denominado $S$ es, de hecho $2$ con lo cual me refiero a la vieja 2 en la vieja $\mathbb R$ que podríamos escribir como $2_{\mathbb R}$ y sí $2_{\mathbb R} = 1_{\mathbb R} + 1_{\mathbb R}$ .

Pero lo que plantea su pregunta sigue siendo cierto en $S$ es decir $a \oplus a =2_{S} \otimes a$ Sin embargo, observe que tiene que asegurarse de utilizar las operaciones en anillo de $S$ y recuérdate a ti mismo que estás usando $2_{S}$ que se define como $1_{S} \oplus 1_{S}$ . (Y corresponde al número real subyacente $3_{\mathbb R}$ !)

El anillo $S$ es, por supuesto, extremadamente confuso para trabajar, y nunca he visto que se utilice seriamente, sólo para romper los cerebros de los estudiantes de matemáticas, para mostrarles cómo podemos definir grupos, anillos, campos, etc. que se comportan de manera muy diferente a lo que están acostumbrados. Por ejemplo $\langle \mathbb R, \oplus, \otimes\rangle$ es un cuento de precaución, no una herramienta matemática de uso común, pero el único requisito que puso fue que $\mathbb R$ era el conjunto subyacente, y por eso me dejaste abierta la posibilidad de definir sumas y multiplicaciones realmente extrañas. Yo no pasaría mucho tiempo agonizando sobre ello, pero puede ser un ejemplo divertido para contemplar y agudizar el ingenio.

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*Si alguien utiliza el símbolo " $2$ " y dice que no es igual a $1+1$ En el caso de los niños, puedes mirarles de forma extraña, preguntarles qué demonios creen que están haciendo y exigirles que te expliquen por qué están utilizando ese símbolo.

Answer 2

Esto es básicamente cierto por definición, aunque hay algunas cosas que debes tener en cuenta.

Algunas personas exigen que cualquier anillo $(R,+_R,\cdot_R)$ contiene una identidad multiplicativa $1_R,$ y que los homomorfismos de anillo $f : (R,+_R,\cdot_R)\to (S,+_S,\cdot_S)$ satisfacer $f(1_R) = 1_S.$ Si requiere esta condición, entonces para cualquier anillo $(R,+_R,\cdot_R)$ existe un único homomorfismo de anillo $i_R : (\Bbb{Z},+,\cdot)\to(R,+_R,\cdot_R).$ En este caso, aunque el conjunto $R$ no contiene literalmente $2,$ puede pensar en $i_R(2)\in R$ como ser $2$ (incluso podría escribir $i_R(2) = 2_R$ ). Es cierto entonces que para cualquier $r\in R,$ $$ 2_R\cdot_R r = i_R(2)\cdot_R r = r +_R r, $$ porque $$ \begin{align*} i_R(2)\cdot_R r &= i_R(1 + 1)\cdot_R r\\ &= (i_R(1) + i_R(1))\cdot_R r\\ &= (1_R + 1_R)\cdot_R r\\ &= r + r. \end{align*} $$ Como JonathanZ apoya a MonicaC, podría darse el caso de que $i_R(2)$ se comporta de forma diferente a lo que esperas, o tiene un aspecto diferente a lo que esperas. Puede ser que $i_R(2) = -1_R$ o incluso $i_R(2) = 0_R$ ¡! Véase el último párrafo para un ejemplo particularmente escandaloso de esto.

Si no requiere que sus anillos tengan identidades multiplicativas y/o que los homomorfismos de anillos no necesiten enviar identidades multiplicativas a identidades multiplicativas, entonces esto sigue siendo cierto hasta cierto punto, aunque debemos tener cuidado con lo que queremos decir.

Dejemos que $(R,+_R,\cdot_R)$ sea nuestro anillo, posiblemente no unitario. En este caso, no podemos utilizar el homomorfismo único $i_R :(\Bbb{Z},+,\cdot)\to(R,+_R,\cdot_R)$ de antes -- ¡ahora podría haber más de un homomorfismo de anillo! Además, el conjunto $R$ puede no contener $2.$

Entonces, ¿qué hacemos? Bien, recuerda que cualquier anillo tiene un grupo abeliano subyacente $(R,+_R).$ Un grupo abeliano es lo mismo que un $\Bbb{Z}$ -Módulo (ver aquí para la definición de un módulo sobre un anillo si no estás familiarizado). Esto significa explícitamente que tenemos una acción de $\Bbb{Z}$ en $R$ que interactúa muy bien con la adición. Definimos esta acción estableciendo $$ n\cdot r :=\begin{cases} \underbrace{r + \dots + r}_{n\textrm{ times}},&n > 0,\\ 0,&n=0,\\ \underbrace{-r + \dots + -r}_{-n\textrm{ times}}, &n <0. \end{cases} $$ Observe que no estoy escribiendo $n\cdot_R r$ -- eso es porque no hay necesariamente un elemento $n\in R$ que se comporta como $n.$ Sin embargo, sigue siendo sensato pensar en añadir el elemento $r$ a sí mismo $n$ veces, que es lo que $n\cdot r$ significa por definición. El $\cdot$ se refiere a la acción de $\Bbb{Z}$ en el grupo abeliano subyacente de $(R,+_R,\cdot_R),$ no la multiplicación en el propio anillo. En este sentido, la igualdad $$ 2\cdot r = r+r $$ siempre se mantiene, ¡y esto es básicamente por definición!

Una última observación. Usted preguntó si esto es cierto para cualquier anillo que tenga $\Bbb{R}$ como su conjunto subyacente. Aquí hay que tener un poco de cuidado. Consideremos la siguiente estructura de anillos sobre $\Bbb{R}$ : $$ \begin{align*} +' : \Bbb{R}\times\Bbb{R}&\to\Bbb{R}\\ (r,s)&\mapsto r+'s:=\sqrt[3]{r^3 + s^3},\\ \cdot' : \Bbb{R}\times\Bbb{R}&\to\Bbb{R}\\ (r,s)&\mapsto r\cdot's := rs. \end{align*} $$ Esta no es la estructura de anillo estándar en $\Bbb{R}$ -- la multiplicación es la misma, pero la suma está "torcida". En este caso, $2\in \Bbb{R}$ pero no es cierto que $2\cdot' r = r +' r.$ Supongamos que $r = 2.$ Entonces: $$ \begin{align*} 2 +' 2 &= \sqrt[3]{2^3 + 2^3}\\ &= \sqrt[3]{16}\\ &= 2\sqrt[3]{2}. \end{align*} $$ Por otro lado, $$ 2\cdot'2 = 4. $$ ¿Qué ha pasado? Dejaré que lo pienses por ti mismo antes de revelar la respuesta a continuación.

Lo que ocurrió aquí es que $2\in\Bbb{R}$ ya no desempeña el mismo papel que antes. Nuestro anillo $(\Bbb{R},+',\cdot')$ sigue teniendo una identidad multiplicativa, pero nuestro homomorfismo de anillo $i_{(\Bbb{R},+',\cdot')} : (\Bbb{Z},+,\cdot)\to(\Bbb{R},+',\cdot')$ ahora envía $$i_{(\Bbb{R},+',\cdot')}(2) = i_{(\Bbb{R},+',\cdot')}(1) +' i_{(\Bbb{R},+',\cdot')}(1) = 1 +' 1 = \sqrt[3]{2}.$$ Así que hay un elemento de $(\Bbb{R},+',\cdot')$ que se comporta como $2$ debería es $\sqrt[3]{2}$ . Por lo tanto, tenemos $$\sqrt[3]{2}\cdot' r = r +' r$$ para cualquier $r\in\Bbb{R}.$ Esto es muy confuso, porque ya tenemos $2\in\Bbb{R}$ ¡! En este caso, sería muy importante distinguir entre $2\cdot r$ (que es $2\in\Bbb{Z}$ actuando en $r,$ dando $r +'r$ ) y $2\cdot' r$ (que como hemos calculado, no es $r +' r$ en general). En la notación del primer párrafo, $2_{(\Bbb{R},+',\cdot')} = \sqrt[3]{2}$ y $2\neq 2_{(\Bbb{R},+',\cdot')}$ .

Para ser aún más explícito sobre lo ocurrido, dado cualquier conjunto $X,$ cualquier anillo $(R,+_R,\cdot_R),$ y cualquier biyección $f : X\to R,$ podemos dar $X$ la estructura de un anillo definiendo la adición en $X$ por $x +_X y := f^{-1}(f(x)+_R f(y))$ y $x\cdot_X y := f^{-1}(f(x)\cdot_R f(y)).$ Estamos tomando la estructura del anillo en $R$ y transportarlo a $X$ mediante la biyección $f$ : primero, toma tus elementos $x$ y $y$ en $X,$ envíelos a $R$ donde los sumas o multiplicas, y luego los devuelves a $X.$ En mi ejemplo anterior, estoy utilizando la biyección $\Bbb{R}\to\Bbb{R}$ que envía $x$ a $x^3.$