¿Existen funciones $f,g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ de manera que se diferencien entre sí?

Question

Es decir $$f'(x) = (g \circ f)(x)$$ $$g'(x) = (f\circ g)(x)$$

Esta pregunta se me ocurrió hace unos años. Un amigo encontró el único ejemplo que conozco:

para $c\in\mathbb{R}$ $$f(x) = c$$ $$g(x) = cx - c^2 $$

Después de probar con algunos casos particulares (sin éxito), he utilizado la fórmula de la derivada de la función inversa y he obtenido que si $f$ y $g$ son biyectivas entonces,

$$f^{-1} = \int{}{dt \over g(t)} $$ $$g^{-1} = \int {dt \over f(t)}$$

Asumiendo todas las condiciones necesarias para que esto sea posible. He intentado utilizar este hecho para construir las funciones, de nuevo sin suerte.

Agradecería mucho cualquier idea sobre cómo abordar este problema.

Answer 1

Algunos resultados parciales, pero demasiado largos para un comentario.

La condición implica que $f,g$ son $C^\infty$ . En particular, $$ f''=(g\circ f)'=f'\cdot g'\circ f=g\circ f \cdot f\circ g\circ f=(\operatorname{id}\cdot f)\circ g\circ f$$ para que cada cero de $f'$ también es un cero de $f''$ . Dejemos que $h_0=f$ y recursivamente $$h_{n+1}=\begin{cases}g\circ h_n&n\text{ even}\\f\circ h_n&n\text{ odd}\end{cases}$$ Hasta ahora, hemos $f=h_0$ , $f'=h_1$ , $f''=h_1h_2$ . Tenga en cuenta que $$h_{n+1}'=\begin{cases}h_n'\cdot g'\circ h_n=h_n'\cdot f\circ g\circ h_n&n\text{ even}\\ h_n'\cdot f'\circ h_n=h_n'\cdot g\circ f\circ h_n&n\text { odd}\end{cases} $$ Así que en cualquier caso, $$ h_{n+1}'=h_n'h_{n+2}.$$ Así, por inducción, $$\tag1 h_n'=\prod_{k=1}^{n+1} h_k.$$

Dejemos que $$ H=\Bigl\{\,\prod_{k=1}^m h_k^{a_k}\Bigm| m\ge 1, a_1\ge a_2\ge a_m\ge1 \,\Bigr\}$$

Si $\phi\in H$ entonces por la regla del producto y $(1)$ , $\phi'$ es una suma finita de elementos de $H$ . Como $f'=h_1\in H$ concluimos que todos los $f^{(n)}$ , $n\ge1$ son sumas finitas de elementos de $ H$ . En particular, para todos los $x$ con $f'(x)=0$ tenemos $f^ {(n)}(x)=0$ para todos $n\ge1$ . Por supuesto, la misma conclusión es válida para $g$ .

Como consecuencia del teorema de la identidad:

Si $f$ es analítica entonces $f$ es constante (y por tanto $g$ lineal) o $f'$ no tiene ceros (así que en particular, $f$ es estrictamente monótona). Lo mismo para $g$ .

Así que si $f,g$ son analíticas y ninguna es constante, entonces ambas son monótonas, por lo que todas $h_n$ son estrictamente monótonas. Si ambos $f,g$ son crecientes, entonces todas las derivadas son crecientes.