Detección de un coeficiente negativo en una serie de potencias

Question

Supongamos que tengo una función analítica $f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n z^n$ que converge en algún disco alrededor del origen.

Para una función particular que encontré, quería demostrar que cada coeficiente, $a_n$ es no negativo.

Me pregunto qué métodos analíticos complejos existen para detectar coeficientes negativos si todos mis coeficientes son reales. ¿Qué formas agradables existen para comprobar si todos los coeficientes de mi serie de potencias son del mismo signo?

De forma más general, ¿existen métodos que detecten si finalmente ¿todos los coeficientes son del mismo signo? (Es decir, si existe o no $N$ tal que para todo $n,m>N$ , $a_n$ y $a_m$ será el mismo signo)

Estoy realmente interesado en cualquier, y muchos, pensamientos sobre este problema. ¿Qué estrategias podría ¿es posible que funcione?

Gracias.

Answer 1

Si sus coeficientes son enteros, una forma fácil es encontrar una interpretación combinatoria. Este problema, y los relacionados con él, parecen ser difíciles de responder algorítmicamente en general: ni siquiera se sabe cómo detectar algorítmicamente si un coeficiente de una función racional es alguna vez cero. Véase esta entrada del blog de Terence Tao sobre el teorema de Skolem-Mahler-Lech.

Answer 2

Si todos los coeficientes son positivos, la singularidad dominante se encuentra en el eje real positivo.

Esto daría un criterio para eliminar algunas series no positivas. Por supuesto, es inútil para una prueba de positividad.

Answer 3

He aquí algunas reflexiones dispersas (y en su mayoría obvias) sobre el problema (está muy lejos de ser una respuesta).

• Puede utilizar la fórmula $a_n = n! \, f^{(n)}(0)$ .

• El espacio de tales funciones es estable por derivación, suma (combinaciones lineales positivas) producto y composición.

• Algunos ejemplos de estas funciones son $e^x$ , $\frac1{1-x}$ y $\tan(x)$ (cada uno presenta características diferentes). En general, si $g : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ toma $\mathbb{R}_+$ a $\mathbb{R}_+$ entonces las soluciones de $y' = g(y)$ , $y(0) \ge 0$ tienen expansiones de Taylor positivas.

• El comportamiento en los números positivos (reales) es muy sencillo de estudiar. La función es positiva, creciente, convexa... No hay ninguna raíz positiva (probablemente se podrían descartar raíces en conjuntos mayores con condiciones adicionales) y $\underset{R}{\lim} f = + \infty$ .

• Un buen comienzo podría ser estudiar los polinomios con coeficientes positivos (la estabilidad por producto podría ser de alguna ayuda aunque dudo que sea suficiente en este caso). También serían interesantes las fracciones racionales.

• Estudiando $f$ en un círculo llevaría a una serie de Fourier con coeficientes positivos, por lo que ambos problemas podrían estar relacionados.

Answer 4

Vea las diapositivas 37-40 de esta charla de Manuel Kauers aquí

También, sobre algunas series con coeficientes enteros, una selección de la disertación de Ken Ono aquí

La situación típica para demostrar que un número está representado integralmente por una forma cuadrática integral positiva es expresar la serie theta como una diferencia de alguna serie natural, y luego demostrar que el resultado es positivo para un tamaño suficientemente grande $n,$ como en su pregunta. Un resultado seminal está en Duke y Schulze-Pillot, Representaciones de números enteros por formas cuadráticas ternarias positivas y equidistribución de puntos de la red en elipsoides , Invent. Math. 99 (1990)