Punto de tangencia entre el plano y la esfera

Question

¿Cómo se puede encontrar el punto de tangencia entre un plano y una esfera en $\mathbb{R}^3$ ? Las ecuaciones del plano y la esfera son $x + y + z - 5 = 0$ y $(x-1)^2 + (y-2)^2 + (z+1)^2 = 3$ respectivamente.

Me di cuenta de que la distancia entre el punto de tangencia y el centro de la esfera debe ser igual a su radio, pero al establecer esta restricción sólo se obtuvo la ecuación $x + y + z - 5 = 0$ . ¿Estoy haciendo algo mal?

Answer 1

Interseca la recta (1/2/-1) + t (1/1/1) con el plano.

El punto (1/2/-1) es el punto medio de la esfera. El vector normal del plano tiene la misma dirección que la línea entre el punto medio de la esfera y el punto de tangencia.

Obsérvese que la distancia del punto medio de la esfera al plano es $\sqrt{3}$ por lo que el plano es efectivamente un plano de tangencia.

Answer 2

Supongo que se necesita un punto tanto en la esfera como en el plano donde el gradiente $\nabla f$ de $$f(x,y,z)=(x-1)^2+(y-2)^2+(z+1)^2$$ es paralelo a (es decir, un múltiplo constante de) $\langle 1,1,1 \rangle$ . Esto conduce al siguiente conjunto de 5 ecuaciones en 4 incógnitas. $$ \begin{array}{l} 2 (x-1)=\lambda \\ 2 (y-2)=\lambda \\ 2 (z+1)=\lambda \\ (x-1)^2+(y-2)^2+(z+1)^2=3 \\ x+y+z=5 \\ \end{array} $$

Se trata de un sistema sobredeterminado porque es inusual que haya una solución. En este caso particular, hay es una solución, a saber $x=2$ , $y=3$ , $z=0$ y $\lambda=2$ como puede comprobar fácilmente.