Demostrar que dos reparametrizaciones por arclength sólo se diferencian por un signo y una constante

Question

Dejemos que $\alpha(t)$ sea una curva regular. Demostrar que si $\beta(s)$ y $\gamma(\bar{s})$ son dos reparametrizaciones por arclitud, entonces $s = \pm\bar{s} +a$ , donde $a \in \mathbb{R}$ es una constante.

Sé que lo siguiente debe ser cierto:

$||(\alpha(\beta(s)))'||=||\alpha'(\beta(s))\cdot\beta'(s)|| = 1$

$||(\alpha(\gamma(\bar{s})))'||=||\alpha'(\gamma(\bar{s}))\cdot\gamma'(\bar{s})|| = 1$

Pero no sé dónde ir a partir de ahí. ¿Por dónde empiezo? Agradecería cualquier ayuda.

EDITAR : Bueno, por lo que escribí arriba, ahora es obvio para mí que:

$|\beta'(s)| = |\gamma'(\bar{s})| \Rightarrow \beta'(s) = \pm \gamma'(\bar{s}) \Rightarrow \beta(s) = \pm\gamma(\bar{s}) + a$

¿Es esto correcto? No parece que sea de la forma exacta a la que el ejercicio quería que llegara, pero son equivalentes, ¿no?

EDITAR 2 : Ahora veo que he hecho exactamente lo que pedía el ejercicio. Es sólo una cuestión de notación.

Answer 1

La declaración lleva implícita $s=\bar s + a$ es que llevan al mismo punto en $t$ espacio de parámetros, $t=\beta(s) = \gamma(\bar s)$ . En estos puntos tenemos, en efecto $|\beta'(s)| = |\gamma'(\bar s)| = 1$ para todos esos $s， \bar s $ Según sus cálculos.

Como las parametrizaciones regulares no pueden cambiar de signo, el signo de una $s,\bar s$ determina el signo de la derivada, y $\{\beta'(s),\gamma'(s')\} = \{ 1\},\{-1\},$ o $\{1,-1\}$ . Esto explica el $±$ pero todos están probados de la misma manera, así que digamos $\beta'(s)=\gamma'(\bar s) = 1$ . Entonces, para cualquier $s$ La integración revela $$ \beta(s) = s + c_1$$ y para cualquier $\bar s$ , $$ \gamma(\bar s) = \bar s + c_2$$ $\beta(s) = \gamma(\bar s)$ luego se reescribe en $s = \bar s + (c_2 - c_1)$ según sea necesario. La prueba se extiende claramente a los demás casos.